Алгебраическое представление двоичных чисел

Знак числа кодируется двоичной цифрой, при этом код 0 означает + (плюс), а код 1 означает – (минус). Для алгебраического представления чисел, то есть для представления чисел с учетом их знака, в вычислительных машинах используются специальные коды:

• прямой код числа

• обратный код числа

• дополнительный код числа.

При этом два последних кода позволяют заменить неудобную для компьютера операцию вычитания на операцию сложения с отрицательным числом. Дополнительный код обеспечивает более быстрое выполнение операций, поэтому в компьютере применяется чаще всего он.

Пусть имеется число

1. Прямой код числа N – [N]_пр.

Если , то

Если , то

Если , то имеет место неоднозначность.

Операцию вычитания в этом коде нельзя заменить операцией сложения с отрицательным числом, поэтому возникают сложности, связанные с заемом значений из старших разрядов уменьшаемого числа. В связи с эти прямой код в компьютере почти не применяется.

2. Обратный код числа N – [N]_обр.

Обозначение - это величина, обратная а (инверсия а), то есть если а=1, то .

Если , то

Если , то

Если , то имеет место неоднозначность.

Для того чтобы получить обратный код отрицательного числа, необходимо все значащие цифры этого числа инвертировать, т. е. в знаковой разряде поставить 1, во всех значащих разрядах нули заменить единицами, а единицы – нулями.

ПРИМЕР: N= 0,1011; [N]_обр=0,1011.

N= - 0,1011; [N]_обр=1,0100

3. Дополнительный код числа N – [N]_доп

Если , то

Если , то

Для того, чтобы получить дополнительный код отрицательного числа, необходимо все его цифры инвертировать (в знаковом разряде поставить единицу, во всех значащих разрядах нули заменить единицами, а единицы нулями) и затем к младшему разряду прибавить единицу. В случае возникновения переноса из первого после запятой разряда в знаковый разряд, к числу следует прибавить единицу в младший разряд.

ПРИМЕР: N= 0,1011; [N]_доп=0,1011.

N= - 0,1100; [N]_доп=1,0011+0,0001=1,0100

N= - 0,0000; [N]_доп=1,1111+0,0001=10,0000=0,0000 Неоднозначности в изображении 0 нет.

Эмпирическое правило для получения дополнительного кода отрицательного числа: необходимо все символы этого числа инвертировать, кроме последней (младшей) единицы и тех нулей, которые за ней следуют.

Выбор оснований систем счисления

Одной из основных причин, определивших выбор системы счисления для вычислительных машин, явилось влияние основания счисления на количество оборудования в машине.

Пусть М – множество всех возможных чисел в разрядной сетке, с которыми может оперировать машина;

R – разрядность машины;

N – количество оборудования в машине (электронных схем);

- коэффициент пропорциональности;

P – основание системы счисления.

Тогда

- 3

- 2

Если взять систему счисления по основанию , то такая система давала бы наименьшее число разрядов.

Двоичная система экономична для цифровой техники, так как определены все состояния (в отличие от троичной системы).