Методы перевода чисел из одной системы счисления в другую

1. При переводе смешанного числа следует переводить его целую и дробную части отдельно.

Для перевода целой части числа ее, а затем целые части получающихся частных от деления, следует последовательно делить на основание Р до тех пор, пока очередная целая часть частного не окажется равной 0. Остатки от деления, записанные последовательно справа налево, образуют целую часть числа в системе счисления с основанием Р.

Для перевода дробной части числа ее, а затем дробные части получающихся произведений, следует последовательно умножать на основание Р до тех пор, пока очередная дробная часть произведения не окажется равной 0 или не будет достигнута нужная точность дроби. Целые части произведений, записанные после запятой последовательно слева направо, образуют дробную часть числа в системе счисления с основанием Р.

ПРИМЕР: Смешанное число 46,625₁₀ представить в двоичной системе счисления.

Целая часть 46:2=23 (остаток 0)

23:2=11 (остаток 1)

11:2=5 (остаток 1)

5:2=2 (остаток 1)

2:2=1 (остаток 0)

1:2=0 (остаток 1)

Записываем остатки последовательно справа налево: 101110₂=46₁₀

Дробная часть 0.625*2=1.250

0.250*2=0.500

0.500*2=1.000

Записываем целые части получающихся произведений после запятой последовательно слева направо: 0,101₂=0,625₁₀

Таким образом, 46,625₁₀=101110,101₂

ПРИМЕР: Двоичное число 100101,001 представить в десятичной системе счисления.

100101,001₂=1*2⁵+0*2⁴+0*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰+0*2^-1+0*2^-2+1*2^-3=37,125₁₀

2. Перевод чисел из позиционной системы счисления в СОК наиболее просто может быть выполнен с использованием описанных выше способов представления цифр и значения основания позиционной системы счисления цифрами системы счисления с другим основанием.

ПРИМЕР:

Перевод целого числа 103 в системе счисления с основанием в СОК с набором модулей .

Рассчитывает остатки:

A=103=(1,3,5)

Формы представления чисел

В вычислительных машинах применяются две формы представления двоичных чисел:

1. естественная форма (или форма с фиксированной точкой);

2. нормальная форма (или форма с плавающей точкой)

В форме представления с фиксированной точкой все числа изображаются в виде последовательности цифр с постоянным для всех чисел положением запятой, отделяющей целую часть от дробной части.

ПРИМЕР: в десятичной системе счисления имеется 5 разрядов в целой части и 5 разрядов в дробной части. Числа, записанные в такую разрядную сетку, имеют вид:

00721,35500; 00000,000328; -10301,20260

При естественной форме представления запятая, разделяющая целую и дробную части числа располагается справа от разряда с номером i=0, это положение постоянно для всех чисел в вычислительной машине.

Рисунок 1. Разрядная сетка вычислительной машины с естественной формой представления чисел (запятая фиксирована перед старшим разрядом)

Эта форма проста, естественна, но имеет небольшой диапазон представления чисел и поэтому чаще всего не приемлема для вычислений. Диапазон значащих чисел N в системе счисления с основанием P при наличии т разрядов в целой части числа и s разрядов в дробной части числа (без учета знака) будет таким:

ПРИМЕР: Р=2, т=10, s=6 числа изменяются в диапазоне 0,015<N<1024.

Если в результате операции получится число, выходящее за допустимые пределы, произойдет переполнение разрядной сетки, и дальнейшие вычисления теряют смысл. Для предотвращения переполнения при составлении программы вычислений числа необходимо масштабировать, т. е. подбирать коэффициенты (масштабные множители), на которые можно умножать числа, чтобы переполнения не возникало.

В современных компьютерах естественная форма представления используется как вспомогательная и только для целых чисел.

В форме представления с плавающей точкой каждое число изображается в виде двух групп цифр. Первая группа называется мантиссой, вторая – порядком, причем абсолютная величина мантиссы должна быть меньше 1, а порядок должен быть целым числом. В общем виде число в формате с плавающей точкой может быть представлено:

,

где М – мантисса числа ( ); r – порядок числа (целое число); Р – основание системы счисления.

ПРИМЕР: 0,721355*10³ ; 0,328*10^-3 ; -0,103012026*10⁵

Нормальная форма представления имеет огромный диапазон отображения чисел и является основной в современных компьютерах. Так, диапазон значащих чисел в системе счисления с основанием Р при наличии т разрядов у мантиссы и s разрядов у порядка (без учета знаковых разрядов порядка и мантиссы):

ПРИМЕР: Р=2, т=22, s=10 числа изменяются в диапазоне 10^-300<N<10³⁰⁰