4 Контрольні запитання

1. Що таке коливний рух ?

2. Які коливання називаються гармонічними, вільними, загасаючими?

3. Що таке зміщення, амплітуда, період, частота, фаза коливань ?

4. Записати диференціальне рівняння вільних коливань?

5. Записати диференціальне рівняння загасаючих коливань?

6. Що таке коефіцієнт загасання і логарифмічний декремент загасання.

5.Література

1.Ессаулова И.А. и др. Руководство к лабораторным работам по медицинской и биологической физике.:М., „Высшая школа”, 1987.

2. І.М.Кучерук, І..Т. Горбачук, П.П. Луцик. Загальний курс фізики. Механіка. Молекулярна фізика і термодинаміка.:Київ, „Техніка”,1999, т.1.С.209-242.

Лабораторна робота №3 Вивчення пружних властивостей кісткової тканини

Мета роботи: 1.Вивчення теорії механічних властивостей твердих тіл, ознайомлення з різними видами деформацій.

2.Вивчити пружні властивості кісткових тканин тварин, порівняти модуль пружності кісткової тканини з модулем пружності сталі.

Необхідні прилади та матеріали: установка для вивчення пружних властивостей матеріалів, зразки кісткових тканин тварин, стальний зразок.

1. Короткі теоретичні відомості

У процесі життєдіяльності людини опорно-руховий апарат і окремі групи м’язів зазнають різноманітних деформацій. Кістки хребта, нижні кінцівки , як правило, зазнають деформацій стиску та згину, а кістки верхніх кінцівок , сухожилля і м’язи – деформації розтягу. Деформація тканин виникає при переломах, вивихах, а усунення її досягається шляхом витягування. При підборі навантаження при витягуванні необхідно врахувати пружність кісток. Отже, знання пружних властивостей тканини людини являє інтерес для всіх галузей медицини, особливо ортопедії, в тому числі стоматологічної, яка займається діагностикою і лікуванням порушень структури і функції зубочелюстної системи за допомогою протезування або регулюючих апаратів.

Під дією прикладених сил будь-яке тверде тіло деформується, тобто змінює свої розміри та форму. Якщо після припинення дії сили тіло приймає початкові розміри, то деформацію називають пружною (у протилежному випадку – пластичною).

Серед усіх деформацій, що виникають у твердих тілах під дією зовнішніх сил, можна виділити п'ять основних видів деформацій: розтяг, стиснення, зсув, кручення, вигин. В теорії пружності доводиться, що всі ці види деформацій можуть бути зведені до деформацій розтягу (стиснення) і зсуву, що відбуваються одночасно.

Розглянемо це детальніше на прикладі однорідного стержня завдовжки l і площею поперечного перерізу S, до одного з кінців якого прикладено зовнішню розтягуючу силу , направлену вздовж осі стержня (рис.1). Зовнішня сила створює напругу, яка рівна відношенню цієї сили до площі поперечного перерізу зразка , і зміщує частинки твердого тіла з їх положень рівноваги, а міжмолекулярні сили перешкоджають цьому зсуву. В результаті всередині тіла створюється напруга, яка чисельно рівна силі пружності, що приходиться на одиницю площі S поперечного перерізу зразка _.

Кількісною мірою, що характеризує ступінь деформації, є відносна деформація , що визначається як відношення абсолютної деформації (Δх) до початкового розміру зразка (х):

.

(1)

Закон Гука: напруга, що виникає в пружно деформованому тілі, прямо пропорційна його відносній деформації:

.

Коефіцієнт Е називається модулем Юнга і рівний механічній напрузі, яка виникає в тілі при одиничній відносній деформації (тобто при збільшенні розмірів зразка вдвічі). Модуль Юнга характеризує опір матеріалу пружній деформації розтягу або стиснення і вимірюється в Паскалях (1Па =1 Н/м²).

Коротко охарактеризуємо різні види деформацій.

Розтяг (стиснення) Простою деформацією є поздовжній або односторонній розтяг (стиснення), що супроводжується збільшенням (зменшенням) довжини тіла під дією зовнішньої розтягуючої (стискаючої) сили (рис.1). Деформація припиняється за умови . Відносна деформація , де  – зміна довжини зразка під дією сили . За законом Гука напруга, що виникає в зразку, визначається співвідношенням:

.

Тоді або ;

де  – коефіцієнт пружності, що характеризує пружні властивості зразка; Δℓ – абсолютна деформація тіла. Знак ״–״ означає, що сила пружності і абсолютна деформація протилежні за напрямом.

Вигин Під час вигину стержня (рис.2) абсолютна деформація визначається стрілою прогину , а відносна – відношенням стріли прогину ( ) до первинної довжини стержня (ℓ): . При деформації вигину верхній шар зразка зазнає деформацію розтягу, а нижній – деформацію стиснення. Середній шар залишається нейтральним і не зазнає деформації. Оскільки шари, близькі до нейтрального, зазнають меншої деформації, то деталі машин, конструкцій, працюючі на вигин, дроти ліній електропередач і т.д. вигідно робити порожнистими, що дозволяє економити матеріали і значно знижує вагу деталей. В результаті тривалої еволюції кістки тварин і птахів, а також стовбури деяких рослин (наприклад бамбук) придбали трубчасту будову, що забезпечує максимальну міцність скелета і стовбура при даній його масі.

Зсув Зсувом називається деформація тіла, при якій всі його плоскі шари, паралельні деякій площині зсуву, не скривлюючись і не змінюючись в розмірах, зміщуються паралельно один одному вздовж дії дотичної сили , паралельної площині зсуву (рис.3).

При малих кутах зсуву відносна деформація  і визначається зі співвідношення , де  – абсолютний зсув паралельних шарів один відносно одного, а  – висота тіла, що деформується. Силу , що направлена по дотичній до поверхні, на яку вона діє, називають тангенціальною. Позначимо через тангенціальну напругу, яка виникає в зразку внаслідок дії тангенціальної сили і розглянемо супроводжуючу її деформацію зсуву. Нехай однорідне тіло має форму прямокутного паралелепіпеда (рис.3). Тоді в будь-якому перерізі, паралельному граням паралелепіпеда, тангенціальна напруга визначається співвідношенням , де S – площа грані. Під дією напруги тіло деформується і одна з граней зміститься відносно іншої на деяку відстань . Якщо тіло подумки розбити на елементарні (паралельні даним граням) шари, то кожний шар зсунеться відносно межуючих з ним сусідніх шарів. Тому деформацію такого виду називають деформацією зсуву.

Дослідно встановлено, що відносний зсув пропорційний тангенціальній напрузі, тобто , де коефіцієнт G називається модулем зсуву і, як і модуль Юнга Е, вимірюється в Паскалях. Модуль Юнга і модуль зсуву повністю визначають механічні властивості однорідного твердого тіла у випадку пружних деформацій і, зокрема, швидкості розповсюдження поздовжніх і поперечних хвиль. (У поздовжніх хвилях у середовищі розповсюджується деформація змінного стиснення і розтягування, а в поперечних – деформація зсуву).

Діаграма напруг

Діаграма напруг – це залежність напруги від відносної деформації при односторонньому розтягуванні. Розглянемо якісно діаграму напруг для металевого зразка (рис.4).

З рис.4 видно, що лінійна залежність , встановлена Гуком, виконується лише в дуже вузькому діапазоні деформацій (ділянка ОА) до межі пропорційності . Причому для цієї ділянки ОА модуль Юнга чисельно рівний тангенсу кута нахилу кривої. При подальшому збільшенні напруги деформація ще залишається пружною, хоча лінійність кривої порушується, і до межі пружності пластичні деформації не виникають (ділянка АВ). За межею пружності в тілі виникають залишкові деформації. Після припинення дії сили зворотний хід кривої йде по лінії СЕ. На ділянці ВD деформація зростає без збільшення напруги, тобто тіло ніби "тече". Ця ділянка кривої називається областю текучості. Матеріали, для яких область текучості значна, називаються в’язкими, а тіла, для яких вона практично відсутня, називають крихкими. В області текучості здійснюється холодна обробка металу: кування, штампування, плющення, протяжка тощо. При подальшому навантаженні зразка (за т.D) відбувається спочатку зміцнення матеріалу до межі міцності ( ), а потім наступає його руйнування.

В даній роботі вивчається тільки область пружних деформацій, які виникають в стержні при його вигині під дією навантаження. Стріла прогину буде тим більшою, чим більше навантаження. Крім того, вона залежить від форми стержня, його розмірів і матеріалу, з якого він виготовлений. Вимірявши експериментально стрілу прогину стержня, можна обчислити модуль Юнга. Вивід розрахункової формули для деформації вигину досить складний, тому тут його не приводимо. Робоча формула для визначення модуля Юнга має вид:

(2)

де  – навантаження (в ньютонах); , ,  – відповідно довжина, ширина та висота стержня;  – стріла прогину (в метрах).

В деяких областях медицини (особливо в хірургії, стоматології й ортопедії) при вивченні опорно-рухового апарату людини в питаннях протезування важливими є знання пружних властивостей тканин організму і, зокрема, кісткової тканини. Будова кісткової тканини досить складна. В її склад входять органічний матеріал (головним чином колаген) і неорганічні з'єднання, що містять кальцій, фосфор і ін. Колаген в кістці утворює фібрили – тонкі довгі нитки. Кристали неорганічних речовин розташовані між фібрілами і міцно прикріплені до них. Така складна структура визначає механічні властивості кісткової тканини – пружність і пластичність. Модуль пружності кісткової тканини має проміжне значення між модулями пружності її компонентів й істотно залежить від їх процентного вмісту.

При експериментальних дослідженнях пружних властивостей кісткової тканини припускають, що кістка має суцільну будову, оскільки розміри структурних елементів набагато менші за саму кістку. Кістка вважається однорідною й ізотропною, що володіє однаковими механічними властивостями в усіх точках і по всіх напрямках. Існують різні методи визначення модуля пружності. В даній роботі модуль пружності визначається з деформації вигину.

Якщо на середину прямого пружного стержня, розміщеного на твердих опорах, діє сила (рис.5), то стержень вигинається. Легко зрозуміти, що при такому вигині верхні шари стержня стискаються, нижні – розтягуються, а деякий середній шар, який називають нейтральним, зберігає довжину і лише зазнає викривлення.

Рис.5