Лабораторна робота №5 Визначення коефіцієнту в´язкості рідини методом Стокса

Мета роботи: Метою роботи є ознайомлення з одним із методів визначення динамічної в'язкості рідини – методом Стокса. Зміст роботи полягає в вимірюванні динамічної в'язкості досліджуваної рідини.

Необхідні прилади і матеріали: скляний циліндр; мікрометр; штангенциркуль; секундомір; масштабна лінійка; набір металевих кульок; кімнатний термометр.

1. Короткі теоретичні відомості

Сили притягання між молекулами рідини більші, ніж в газах, але значно менші, ніж в твердих тілах. Частинки рідини легко взаємозміщуються і рідина приймає форму посудини, в якій знаходиться. Під дією сил тиску частинки рідини легко переміщуються з області більш високого тиску в область більш низького. Це переміщення називається течією рідини. Внаслідок наявності сил притягання взаємне зміщення частинок рідини супроводжується деяким опором, який подібний до механічного тертя між мілкими частинками твердої речовини, і називається внутрішнім тертям або в´язкістю рідини.

Сили притягання появляються також між молекулами рідини і твердих тіл, з якими вона стикається, наприклад, стінками трубки, по якій вона тече. Якщо ці сили більші за сили, які діють між молекулами самої рідини, то така рідина прилипає до стінки трубки і змочує її. В цьому випадку шар молекул, який прилягає до стінки трубки, залишається нерухомим. Інша маса рідини поділяється на молекулярні шари, які рухаються паралельно один відносно одного з різними за модулем швидкостями, які поступово зростають при переході від шару до шару. З боку шару, що рухається швидше, на шар, що рухається повільніше, діє прискорююча сила. Навпаки, шар, що рухається повільніше, гальмує шари, які рухаються швидше. Сили тертя, що виникають при цьому, спрямовані по дотичній до поверхні дотику шарів.

Ц е явище можна спостерігати в досліді, під час якого рідина знаходиться між двома плоскопаралельними пластинами (рис. 1). Рідина в´язка і “прилипає” до обох пластинок. Умовно уявимо рідину у вигляді кількох шарів 1, 2, 3 і т.д.

Рис.1.

Прикладемо до верхньої пластини горизонтальну силу, під дією якої пластинка буде рухатися зі швидкістю v_в. Шар, який “прилип” до нижньої пластинки, нерухомий. По мірі віддалення від нижньої пластинки, шари рідини будуть мати все більші за модулем швидкості (v₁<v₂<v₃<… і т.д.). Зрозуміло, що максимальною швидкість буде у верхнього шару рідини, який “прилип” до верхньої (рухомої) пластинки, і буде рівною v_в. Шари рідини взаємно діють один на одного. Так, наприклад, третій шар намагається прискорити рух другого, але сам гальмується ним, в той же час прискорюється четвертим шаром і т.д. Якщо швидкість v_в достатньо мала і окремі шари рідини не будуть змішуватися, то такий рух течії називають ламінарним.

Ламінарну течію рідини використовують для вимірювання внутрішнього тертя, або в´язкості, рідини. Розглянемо силу тертя, яка виникає між двома паралельними шарами рідини, які знаходять на відстані dх і рухаються зі швидкостями v₅ i v_в (рис. 1).

Відношення різниці швидкостей до відстані між шарами  називається градієнтом швидкості в напрямку, перпендикулярному осі перетину течії.

Градієнтом будь-якої скалярної величини і називається вектор, що визначається у такий спосіб:

де  – одиничні вектори координатних осей;  – часткові похідні функції .

Градієнт функції u є вектор, спрямований по нормалі до поверхні, де u=const, в сторону найшвидшого зростання u. Величина цього вектора дорівнює зміні u при переміщенні на одиницю довжини в напрямку найшвидшого зміни u.

Вивчаючи внутрішнє тертя, Ньютон встановив, що сила тертя F між шарами рідини, які рухаються з різними швидкостями, залежить від площі дотику шарів S і градієнту швидкості :

, (1)

де η – коефіцієнт пропорційності, який залежить від роду рідини, її температури, тиску і називається динамічною в´язкістю.

Формулу (1) називають рівнянням Ньютона для в´язкої рідини.

Користуючись формулою Ньютона, можна сформулювати фізичний зміст коефіцієнту динамічної в´язкості:

η дорівнює силі в´язкості, що виникає між двома шарами рідини при одиничному градієнті швидкості і одиничній площі дотику шарів рідини.

Кількісно коефіцієнт динамічної в´язкості η характеризує опір рідини перемішуванню її шарів один відносно одного.

Одиницею вимірювання коефіцієнта динамічної в´язкості є (Н·с)/м²=Па·с.

Значення коефіцієнту в´язкості для деяких рідин при температурі 20^оС приведені в таблиці.

Рідина	η, (Н·с)/м2
Вода	0,001
Етиловий спирт	0,0012
Касторове масло	0,9
Гліцерин	0,85
Кров	0,004–0,005

З підвищенням температури в´язкість рідини суттєво зменшується, а зі збільшенням тиску – зростає. Це пов´язано з тим, що при підвищенні температури сили притягання між молекулами рідини зменшуються (внаслідок збільшення відстані між ними), а при збільшенні тиску, навпаки, сили притягання між молекулами рідини збільшуються.

Відношення коефіцієнта динамічної в´язкості до густини рідини називається кінематичною в´язкістю:

. (2)

Одиницею вимірювання кінематичної в´язкості є (Па·с·м³)/кг.

Величина, обернена до коефіцієнту динамічної в´язкості, називається коефіцієнтом плинності.

Для більшості рідин коефіцієнт в´язкості не залежить від градієнта швидкості. Такі рідини описують рівнянням Ньютона (1) і називають ньютонівськими або нормальними.

Рідини, що складаються з великих і складних молекул, наприклад, розчини полімерів, які утворюють просторові структури, є неньютонівськими. Коефіцієнт в´язкості цих рідин залежить від градієнта швидкості. Такою рідиною є кров, яка за своїми властивостями нагадує суспензію деформованих частинок.

Експериментально встановлено, що в´язкість слабо залежить від молекулярної маси, а більше – від форми макромолекул. Наприклад, за значенням в´язкості можна визначити вид білкових молекул (глобулярні, фібрилярні), а також ступінь гідратації макромолекул. Завдяки дископодібній формі і еластичності стінок еритроцитів, їх в´язкість незначна. Це важливо для зменшення навантаження на серце, яке прокачує кров судинами. Збільшення жорсткості стінок еритроцитів при патологічних процесах зумовлює зростання в´язкості крові і погіршення кровообігу.

Венозна кров людини має дещо більшу в´язкість, ніж артеріальна. У процесі фізичних навантажень в´язкість крові зростає. Збільшується вона і при деяких інфекційних захворюваннях.

Можливі два якісно різних типи течії рідин – ламінарна і турбулентна. Ламінарною називається упорядкована течія рідини, при якій кожна частинка рідини рухається по визначеній прямолінійній траєкторії і вся картина руху течії являє собою рух сусідніх шарів рідини з різними швидкостями один відносно одного, але не перемішуючись один з одним.

При досить великих швидкостях руху рідини ламінарний рух переходить у турбулентний рух рідини. Турбулентний рух рідини – це такий рух, гідродинамічні характеристики якого (швидкість, тиск, а для газу – густина і температура) швидко і нерегулярно змінюються в часі. Частинки рідини рухаються складними траєкторіями, що призводить до інтенсивного перемішування шарів рідини, що рухаються. Прикладами турбулентного руху можуть служити рух хвиль у бурхливому гірському потоці чи водоспаді, за кормою корабля, що швидко пливе, рух диму з труби тощо.

Течія рідини по трубці залежить від властивостей рідини, швидкості течії, розмірів трубки. Характер течії визначається числом Рейольдса:

, (3)

де ρ – густина рідини; η – коефіцієнт динамічної в´язкості рідини;  – середня швидкість течії по трубці діаметром d.

Ламінарний характер течія зберігає тільки при невеликих числах Рейнольдса. Якщо, наприклад, збільшувати швидкість течії (по трубці заданого діаметру), то в певний момент характер руху течії повністю змінюється. Вона стає зовсім невпорядкованою. Замість плавних ліній частинки рідини починають описувати складні траєкторії – рух рідини стає турбулентним. Дослід показує, що течія в трубці стає турбулентною, коли число Рейнольдса перевищує певне критичне значення (для гладких циліндричних трубок Re=2300).

Для визначення в'язкості рідини існують два основних методи: метод Пуазейля (витікання рідин через капіляри) і метод Стокса (падіння кульки в досліджуваному середовищі). Зупинимось детальніше на останньому.

Закон Стокса лежить в основі методу визначення швидкості осідання еритроцитів (ШОЕ) крові. Вимірювання ШОЕ в плазмі крові є надзвичайно важливим методом діагностики, що дає можливість встановити наявність запальних процесів в організмі людини.

Метод Стокса визначення коефіцієнта в’язкості рідини

Сила внутрішнього тертя виникає як під час руху рідини відносно твердого тіла, яке знаходиться в стані спокою, так і під час руху твердого тіла відносно рідини, яка знаходиться в стані спокою. Остання ситуація використовується при вимірюванні коефіцієнту в´язкості методом Стокса.

В´язкість рідини поряд з іншими чинниками (форма тіла, умови обтікання тощо) визначає силу опору, яка діє на тіло, що рухається в цій рідині.

На кульку, яка рухається у рідині, буде діяти сила опору, яка залежить від в´язкості рідини – η, радіусу кульки – r та швидкості її руху . Вираз для сили опору середовища, в якому рухається кулька, вперше була отримана Стоксом і має такий вигляд:

. (4)

Важливим є те, що ця формула отримана за умови ламінарного обтікання кульки, тобто такого, при якому шари рідини можна вважати паралельними один одному. Такі умови практично виконуються при досить малих швидкостях руху кульки. Якщо ця умова не виконується, то в рідині утворюються турбулентності і тоді в´язкість, як властивість рідини, втрачає зміст. Для оцінки ламінарності існує спеціальний критерій – число Рейнольдса. За критичне значення числа Рейнольдса для руху кульки в рідині приймають Re_КР=10.

Метод Стокса для визначення в´язкості полягає у вимірюванні швидкості падіння кульки, яка встановилася сталою, в досліджуваній рідині.

Очевидно, що на кульку радіусу r (об´ємом ), яка падає у в´язкому середовищі, діють такі сили (див. рис. 4):

сила тяжіння ; (5)

виштовхуюча сила Архімеда ; (6)

сила Стокса (сила опору рідини) . (7)

Рис.2. Сили, які діють на кульку, що падає в рідині.

Сила Стокса залежить від швидкості, тому вона буде зростати при падінні кульки, а отже, буде зростати і сила опору рідини. Цей ріст буде тривати доти, поки сила Стокса не зрівноважить суму сил тяжіння і Архімеда. У випадку такої рівноваги швидкість кульки припинить змінюватися і вона буде продовжувати рух з певною сталою швидкістю.

Отже, при усталеному русі кульки рівнодійна всіх сил, які діють на кульку, буде рівна нулю:

,

або за проекціями . (8)

Використавши формули (5-7), співвідношення (8) перепишемо у вигляді:

. (9)

Розв´язавши (9) відносно η, отримаємо наступний вираз:

. (10)

Використовуючи цю формулу, можна обчислити в´язкість рідини, якщо виміряна швидкість усталеного руху кульки.

Вираз (10) справедливий лише тоді, коли кулька падає в безмежному середовищі. Якщо кулька падає уздовж осі трубки радіуса r₀, то необхідно враховувати вплив бічних стінок. Виправлення у формулі Стокса для такого випадку теоретично обґрунтував Ладенбург. Формула для визначення коефіцієнта в'язкості з урахуванням виправлень приймає наступний вигляд:

. (11)