4.2. Частотні характеристики ланки

Основними частотними характеристиками ланки є її амплітудно-частотна A(w) і фазово-частотна j(w) характеристики. Частотну передатну функцію W(jw) ланки називають також амплітудно-фазово-частотною характеристикою (АФЧХ) ланки, оскільки ЧПФ поєднує в собі інформацію про АЧХ і про ФЧХ ланки. Дійсно, з виразу

                                                     (1)

одержуємо АЧХ як модуль 

                                                             (2)

і ФЧХ як аргумент 

.                                                      (3)

Для ланки з ЧПФ виду

W(jw)=k/[T×(jw)+1]                                                      (4)

згідно з (2) і (3) знаходимо АЧХ і ФЧХ у вигляді

,                                                          (5)

.                                                        (6)

Характер графіків АЧХ і ФЧХ для функцій в (5) і (6) показані на рис. 4.3. Значення АЧХ A(w)>1 відповідають підсиленню ланкою вхідних коливань, а значення АЧХ A(w)<1 – ослабленню. Частоту, яка розділяє області підсилення і ослаблення, називають частотою зрізу. Це частота, на якій АЧХ A(w)=1.

 

Рис. 4.3. Типові графіки АЧХ і ФЧХ

 

Тепер розглянемо питання про побудову АФЧХ, якою є ЧПФ W(jw).

4.3. Годограф частотної передатної функції

ЧПФ W(jw) як комплексну функцію можна представляти як в експоненціальній формі

,                                                   (1)

так і в алгебраїчній формі

,                                            (2)

де U(ω) – дійсна складова, а V(ω) – уявна складова частотної передатної функції.

Для ланки з ПФ W(s)=k/[T×s+1) представлення її ЧПФ в експоненціальній формі матиме вид

.                               (3)

Одна із можливих алгебраїчних форм представлення комплексної ЧПФ W(jw)=k/[T×(jw)+1] має вигляд

.                 (4)

Частотним годографом ЧПФ ланки називають її графік, побудований на комплексній площині (U, V) в полярних (А,φ) або прямокутних (u,v) координатах. Приклад частотного годографа для ланки з ЧПФ W(jw)=k/[T×(jw)+1] показаний на рис. 4.4.

 

Рис.4.4. Годограф ЧПФ

 

4.4. Логарифмічні частотні характеристики ланки

Розрізнюють логарифмічну амплітудно-частотну характеристику (ЛАЧХ) і логарифмічну фазово-частотну характеристику (ЛФЧХ) ланки. Логарифмічною АЧХ називають функцію

, дБ,                                 (1)

графік якої зображують в логарифмічному масштабі частоти . Логарифмічною ФЧХ називають графік ФЧХ φ(ω), зображений в логарифмічному масштабі частоти . Приклад зображення логарифмічних характеристик приведений на рис 4.5.

На логарифмічної осі частот w числовими відмітками помічають частоти

… 0,001  0,01  0,1  1,0  10  100  1000 … або відповідні значення логарифмів

… -3  -2  -1  0  1  2  3 … . Відстань між цими відмітками однакова, бо сусідні частоти відрізняються в 10 разів. Діапазон частот, в якому верхня частота в 10 разів більша нижньої називається декадою. Частоту ω = 0 на логарифмічній шкалі показати неможливо, бо lg0= .

 

Рис.4.5. Приклад зображення логарифмічних характеристик

 

Якщо значення логарифмічної ФЧХ відкладають в тих же одиницях виміру, що і на графіку звичайної ФЧХ, тобто в градусах чи в радіанах, то значення логарифмічної АЧХ відкладають в умовних логарифмічних одиницях – децибелах. Звичайним нерозмірним значенням АЧХ

0,001    0,01     0,1    1,0     10     100     1000

відповідають значення ЛАЧХ

-60      -40       -20     0       20      40         60  дБ.

Додатні значення ЛАЧХ відповідають підсиленню ланкою вхідних коливань, а від’ємні – ослабленню. Частоту, яка розділяє області підсилення і ослаблення, називають частотою зрізу. Це частота, на якій ЛАЧХ перетинає вісь частот. На частоті зрізу  A_L=0. Характерним параметром для спадаючої або зростаючої частини ЛАЧХ є її нахил, який оцінюють в дБ на декаду. ЛЧХ широко застосовують для аналізу і синтезу систем автоматичного керування.