Контрольні питання

1.       Сформулюйте критерій стійкості Михайлова для системи n-го порядку.

2.       Покажіть годограф характеристичного многочлена стійкої САР.

3.        Сформулюйте критерій стійкості Найквіста.

4.       Покажіть годограф ланцюга ланок стійкої САР.

5.       Покажіть годограф ланцюга ланок САР, яка знаходиться на границі стійкості.

6.       Покажіть, як з частотного годографа визначити запаси стійкості з амплітуди і з фази.

7.       Яку частоту називають частотою зрізу?

8.       Покажіть, як з графіка АЧХ визначити частоту зрізу  w_z.

9.       Яку частоту слід вважати частотою w_p.

10.   Покажіть, як з графіка ФЧХ визначити частоту  w_p.

11.   Покажіть, як з графіка АЧХ визначити значення DA.

12.   Покажіть, як з графіка ФЧХ визначити значення Dj.

13.   Характеристики якої системи (замкненої чи розімкненої) використовують для визначення запасів стійкості за критерієм Найквіста?

 

14. Точність системи автоматичного керування

Перелік питань: вимоги до процесу керування і поняття точності системи, усталена помилка при постійній дії, усталена помилка при дії з постійною швидкістю зміни, точність системи при гармонічній дії, еквівалентна гармонічна дія, усталена помилка при довільній дії і коефіцієнти помилок.

14.1. Вимоги до процесу керування і поняття точності системи

Під процесом керування розуміють вихідну (керовану) величину системи як змінну часу y(t). До процесу керування ставлять три групи вимог:

-                   вимоги  стійкості;

-                   вимоги точності;

-                   вимоги якості перехідного процесу.

Зміст усіх вимог так чи інакше пов’язаний з перехідним процесом. Основні властивості перехідного процесу визначаються перехідною характеристикою (ПХ), яка є реакцією h(t) системи на одиничну ступеневу функцію x(t)=1(t) на вході. ПХ можна розглядати як суму погасаючої h_p(t)  і усталеної h_u(t) складових (рис.14.1), тобто

.                                               (1)

 

Рис. 14.1. Погасаюча і усталена складові перехідної характеристики

 

Вимоги стійкості задовольняє погасання перехідної складової h_p(t) до нуля, тобто

h_p(t) → 0,  при t → ∞.                                           (2)

Точність системи автоматичного керування визначається в усталеному режимі і оцінюється величиною усталеної помилки, тобто

ε_u(t)=[x(t)-h(t)], t→ ∞.                                              (3)

Усталену помилку системи при дії на її вході одиничної ступеневої функції, тобто статичного сигналу, називають статичною помилкою. Статичну помилку e₀ визначають з перехідної характеристики як

e₀=ε_u=[1(t)-h(t)], t→ ∞.

Точність системи суттєво залежить від характеру дії на її вході. Визначення точності при різних діях розглядається в декількох подальших підрозділах даної глави.

14.2. Усталена помилка при постійній дії

Розглянемо спочатку усталену помилку системи при постійній дії, тобто статичну помилку, для системи з позиційною передатною функцію її ланцюга ланок

,                                                         (1)

де R(s) і L(s) – многочлени з одиничним вільним членом.

Передатна функція для помилки такої системи  дорівнює

.                                      (2)

Припустимо, що на вхід системи подана дія виду

x (t)=x₀ּ1(t),                                                        (3)

зображенням якої є X(s)=x₀/s. Тоді зображення помилки по Лапласу матиме вигляд

,                              (4)

а відповідне диференціальне рівняння для помилки має вигляд

, .                                  (5)

Скориставшись теоремою про кінцеве значення оригіналу усталену помилку знайдемо з (4) у вигляді:

                    (6)

В (6) враховано, що L(0)=1 і R(0)=1. Результат  можна одержати і як окреме рішення диференціального рівняння (5) враховуючи, що x₀=constі e_u=const.

Результат одержаний в (6) свідчить, що в системі з позиційною ПФ ланцюга ланок має місце статична помилка, величина якої суттєво залежить від  коефіцієнта підсилення системи k. Чим більше значення k, тим менша помилка.

Тепер розглянемо статичну помилку для системи з непозиційною ПФ її ланцюга ланок

,                                                   (7)

Зображення помилки для такої системи матиме вигляд

,                                           (8)

а статична помилка буде відсутньою, оскільки в даному випадку

.                                            (9)

Систему з нульового статичною помилкою називають астатичною. Така система має нульовий полюс в передатній функції розімкненої системи. Наявність нульового полюсу зумовлена інтегрувальною ланкою у складі ланцюга ланок системи. Систему з одним нульовим полюсом називають системою з астатизмом першого порядку. В загальному випадку можливий астатизм q-го порядку, де q – додатне ціле число.