- •1. Определители и их свойства.
- •2. Матрицы. Умножение матриц.
- •3. Обратная матрица.
- •Теорема условия существования обратной матрицы
- •Алгоритм нахождения обратной матрицы
- •4. Правило Крамера решения систем линейных уравнений.
- •5. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
- •6. Системы координат.
- •Операция сложения двух векторов - правило треугольника.
- •8. Скалярное произведение векторов. Длина вектора.
- •11. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •12. Расстояние от точки до прямой.
- •13. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
- •14. Угол между двумя прямыми на плоскости.
- •15. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
- •16. Уравнения плоскости в пространстве.
- •17. Угол между плоскостями.
- •18. Уравнение прямой в пространстве.
- •19. Угол между прямыми в пространстве.
15. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие координаты были пропорциональны.
Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны, т.е. косинус угла между ними равен нулю.
16. Уравнения плоскости в пространстве.
Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в пространстве можно задать разными способами. Каждому из них соответствует определенный вид уравнения плоскости.
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
Найдем уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , называемому нормалью к плоскости. Для любой точки плоскости вектор ортогонален (перпендикулярен) вектору , следовательно, их скалярное произведение равно нулю:
или .
Общее уравнение плоскости
После преобразования, уравнение
|
можно записать в виде , приняв , получаем общее уравнение плоскости . Уравнение плоскости в отрезках Если же общее уравнение плоскости является полным
(т.е. ни один из коэффициентов не равен нулю), то его можно преобразовать к виду, называемому уравнением плоскости в отрезках ,
равны величинам отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях. |
Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
Пусть плоскость проходит через точки и , не лежащие на одной прямой и – произвольная точка плоскости. Тогда векторы ,
, компланарны. Следовательно, их смешанное произведение равно нулю. Используя координатную запись смешанного произведения, получаем:
.
Это уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на искомой плоскости, является уравнением плоскости, проходящей через три данные точки.
Нормальное уравнение плоскости
Положение плоскости вполне определяется заданием единичного вектора , имеющего направление перпендикуляра , опущенного на плоскость из начала координат, и длиной p этого перпендикуляра
Пусть , а – углы, образованные единичным вектором с осями и ; Возьмем на плоскости произвольную точку и соединим ее с началом координат. Образуем вектор . При любом положении точки Μ на плоскости проекция радиус-вектора на направление вектора всегда равно : , т.е. или – нормальное уравнение плоскости в векторной форме. Записав его в координатах получим нормальное уравнение плоскости в координатной форме:
.
Общее уравнение плоскости можно привести к нормальному уравнению так, как это делалось для уравнения прямой на плоскости. А именно: умножить обе части общего уравнения на нормирующий множитель
где знак берется противоположным знаку свободного члена общего уравнения плоскости.