11. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Пусть дана прямая L на координатной плоскости Оху.

Определение. Углом наклона прямой к оси абсцисс называется угол поворота оси абсцисс вокруг любой ее точки против часовой стрелки до положения параллельности (или совпадения) с данной прямой.

 

                                              рис.1.

Из определения следует, что угол наклона  прямой L к оси Ох может изменяться от нуля до : . Если прямая , то .

   Пусть

                                                                     (1)

– общее уравнение прямой L, где  – нормальный вектор прямой L и . Тогда  и  (см. рис.1). Выразим у из уравнения (1)

                                    .

                                  , .

Уравнение прямой L принимает вид:

                                            .

Определение. Уравнение прямой вида

                                                                             (2)

называется уравнением прямой с угловым коэффициентом, а коэффициент k называется угловым коэффициентом данной прямой.

12. Расстояние от точки до прямой.

Расстояние точки A(x₁, y₁) до прямой Ax + By + C = 0 есть длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Она определяется по формуле

Правило. Чтобы определить расстояние точки A(x₁, y₁) до прямой Ax + By + C = 0, нужно привести уравнение прямой к нормальному виду, взять левую часть полученного уравнения и подставить в нее вместо текущих координат координаты данной точки. Абсолютная величина полученного числа и даст искомое расстояние:

Расстояние от точки до прямой есть всегда величина положительная. Кроме расстояния от точки до прямой, рассматривается еще так называемое отклонение точки от прямой.

Отклонение данной точки от данной прямой есть расстояние от этой точки до прямой, которому приписывается знак плюс, если точка и начало координат находятся по разные стороны от прямой, и знак минус, если точка и начало координат находятся по одну сторону от прямой.

Расстояние от точки до прямой есть абсолютная величина отклонения этой точки от прямой.

13. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Выведем уравнение прямой линии, проходящей через две заданные точки M(x₀, y₀), M₁(x₁, y₁).

Для этого выберем на прямой произвольную точку М(x, y). Векторы и будут коллинеарными. Признаком коллинеарности векторов является пропорциональность их соответствующих координат

.

Это и есть искомое уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

14. Угол между двумя прямыми на плоскости.

Если заданы две прямые y = k₁ x + b₁ , y = k ₂x + b₂ , то острый угол между этими прямыми будет определяться как

 

.

Две прямые параллельны, если k₁ = k₂ . Две прямые перпендикулярны, если k₁ = -1/ k₂ .

Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А ₁ х + В₁ у + С₁ = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А₁ = λА, В₁ = λВ. Если еще и С₁ = λС, то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых.