2.6.Функции нескольких переменных.
Пусть
- функция, зависящая от двух аргументов.
Будем считать, что аргумент
.
Найдем производную от функции
,
которая теперь зависит только от одного
аргумента
.
Такую производную называют частной и
обозначают
или
.
Аналогично
частную производную по
находим, фиксируя аргумент
.
Эту производную обозначаем
или
.
Пример.
Найти частные производные функции
.
Решение.
Фиксируем аргумент
.
Тогда
=
.
Аналогично,
.
2.7.Необходимое условие экстремума для функции двух переменных.
Если
- точка экстремума функции
,
то обе частных производных в этой точке
равны нулю:
Точки из области определения функции, в которых выполняются необходимые условия экстремума, называются критическими точками.
Пример.
Найти
критические точки функции
.
Решение.
Вычислим частные производные
.
Приравняем их нулю:
.
Ответ:
Критическая точка
.
Если данная функция имеет точку
экстремума, то ею может быть только
точка
.
Градиентом
функции
называется вектор, составленный из
частных производных. Обозначается
Пример.
Найти градиент функции
Решение.
Линией
уровня функции
называется множество точек области
определения, в которых функция принимает
одинаковые значения. Уравнение линии
уровня
.
В любой точке вектор градиента перпендикулярен линии уровня, проходящей через эту точку.
Литература
Основная
Информатика и математика для юристов: Учебник для студентов вузов, обучающихся по юридическим специальностям / С.Я. Казанцев, В.Н. Калинина, О.Э. Згадзай; Под ред. С.Я. Казанцев, Н.М. Дубинина. - 2-e изд., перераб. и доп. – Изд.:ЮНИТИ-ДАНА, 2010. 560с.
Математика для юридических специальностей: Учебное пособие для студ. учреждений высш. проф. образования / С.Я. Казанцев, О.Э. Згадзай, Н.Х. Сафиуллин. - (Университетский учебник ; Высшая математика и ее приложения к юриспруденции. –ИЦ: Академия , 2011. –224с.
Дополнительная
Кремер Н.Ш. Математика для экономистов: от арифметики до эконометрики 2-е изд. Учебно-справочное пособие. М.:Издательство Юрайт, 2011г. –646с.
Малыхин В.И. Высшая математика.2-е изд. Гриф УМО МО РФ. Инфра-М, 2010г. –365с.
Красс М.С. Чупрынов Б.П. Математика для экономического бакалавриата. Учебник.– Инфра-М, 2011г. –472с.
Шипачев. Высшая математика: Базовый курс. Учебное пособие для вузов. 8-ое издание. Серия: Бакалавр. Изд-во: Юрайт, 2011г., - с.