Электроны в треугольной яме

Для поверхностного слоя МДП структуры простейшей квантовой моделью является треугольная потенциальная яма с линейным ходом потенциала в области пространственного заряда и бесконечно высоким барьером у границы раздела диэлектрик – полупроводник.

x в скобках портит линейность функции

Вспомним граничные условия:

Решить эту задачу непросто. Говорить о суперпозиции волн не придется.

Вводят новую переменную

, где

, тогда

Эта задача хорошо исследована математиками.

Решением данной краевой задачи является специальная математическая функция, которая называется функцией Эйри .

.

В области отрицательных значений она выглядит следующим образом:

при х<0 функция Эйри есть затухающая осциллирующая функция со сгущающимися нулями (корнями).

N	1	2	3	4	5
λn	-2.334	-4.088	-5.521	-6.787	-7.944

Тогда дискретные уровни квантования можно записать как

а волновые функции, соответствующие эти уровням энергии

Мы доказали, что в треугольной яме спектр распадается на уровни. Количество горбов соответствует количеству корней. Оценим, удовлетворяет ли наша квантовая яма условию 3 – ограничение по времени релаксации

Согласно условию времени релаксации

Какой должна быть подвижность в случае МДП структуры? Будем считать Е_х порядка 5∙10⁵ В/см

Е₂-Е₁≈0.068 эВ ???Проверить

А это значит, что подвижность должна быть больше 300см²/В∙с, т.о., квантовые ямы на кремниевых МДП структурах можно реально изготовить.

Квантовые ямы на гетероструктурах

Гетероструктурой называется многослойная система, составленная из полупроводниковых слоев с различной шириной запрещенной зоны.

В настоящее время абсолютное большинство наноприборов строится на основе гетероструктур.Простейший пример гетероструктуры – гетероперход.

В качестве узкозонного полупроводника используется AsGa, а в качестве широкозонного Al_xGa_1-xAs. х – доля атомов Ga, замещенная атомами Al. х=0.15÷0.3. Тройное соединение Al, Ga, As – твердый раствор. Ширина запрещенной зоны AsGa 1.41 эВ, а AlAs – 2.2 эВ.

Разрывы зон ∆Е_с и ∆Е_v создают потенциальные стенки, ограничивающие движение носителей. В этом смысле они аналогичны границам для тонких пленок (пленка-вакуум), но, в отличие от пленок, имеют значительно меньшую величину (порядка менее 1 эВ) (работа выхода из пленки 4-5 эВ). Т.о., квантовая яма в гетероструктуре образуется аналогично яме на МДП структуре: с одной стороны она обеспечивается разрывом зоны проводимости ∆Е_с, а с другой – изгибом зон, управляемым внешним электрическим полем.

Важнейшим достоинством гетероперехода является высокое качество гетерограниц.

При выборе в качестве компонент гетеропары веществ с хорошо согласованными постоянными решеток (что достигается технологически в процессе молекулярно-лучевой эпитаксии) удается значительно уменьшить плотность поверхностных состояний до значений порядка n_s≈10⁸ cм^-2, что значительно ниже, чем в лучших МДП структурах (10¹⁰ cм^-2). Такая малая плотность состояний в сочетании с атомногладкой структурой границ фактически обеспечивает исключение рассеяния носителей на границе, и тем самым приводит к рекордно высоким значениям подвижности электронов в приповерхностных каналах. Так, в гетероструктуре на GaAs подвижность составляет 10⁷ см²/В∙с, в то время, как в лучших МДП структурах она не превышает 5∙10⁴ см²/В∙с.

Концентрация носителей в канале гетероструктуры определяется двумя факторами:

1. разрывами зон на гетерогранице ∆Е_с и ∆Е_v;

2. уровнями легирования компонент гетероперехода.

Для систем на GaAs поверхностная плотность не превышает 10¹² cм^-2.

Если к гетеропереходу со стороны широкозонного материала «прикрепить» затворный электрод, то изменением напряжения на нем можно изменить концентрацию электронов n_s в некоторых пределах, но не столь эффективно, как в МДП структуре.

В настоящее время активно исследуются гетероструктуры на основе Ge и Si

Ge_xSi_1-x│Si

Ge_xSi_1-x│Ge

Поскольку постоянные решеток Ge и Si значительно отличаются между собой (период решетки кремния Si - 5.430 Å, период решетки германия Ge – 5.660 Å примерно на 4%), то такие структуры являются механически напряженными. Данные структуры считаются перспективными для создания приборов квантовой оптики (приемников и излучателей).

В гетеропереходах эффект квантования имеет место только для одного типа носителей, как и в МДП, но существуют гетероструктуры, в которых размерное квантование происходит как для электронов, так и для дырок (аналогично квантовым ямам на тонких пленках).

Такие гетероструктуры представляют собой тонкий слой узкозонного полупроводника, который зажат с двух сторон широкозонным полупроводником. Такие структуры называются двойными гетероструктурами.

Если l>>W, то изгибами зон можно пренебречь, и зонная диаграмма приобретает простой вид:

Как видно из рисунка, высоты потенциальных барьеров в супертонкой двойной гетероструктуре равны разрывам зон ∆Е_с и ∆Е_v.

Т.о., узкозонный слой представляет из себя квантовую яму как для электронов, так и для дырок.