Локализация электронов в простейших наноструктурах (размерное квантование)

В макромасштабе свободные электроны в твердом теле перемещаются по любому из трех пространственных направлений. В этом случае говорят, что электронный газ трехмерен.

Волна, соответствующая свободному электрону в твердом теле, может беспрепятственно распространяться в любом направлении. При уменьшении размеров полупроводникового прибора до микромасштабов это свойство также сохраняется вплоть до определенного предельного размера.

Ситуация кардинально меняется, когда электрон попадает в твердотельную структуру, размер которой L, по крайней мере в одном направлении, ограничен и по своей величине сравним с длиной волны де Бройля. Классическим аналогом такой структуры является струна с жестко закрепленными концами. Колебания струны могут происходить только в режиме стоячих волн с длиной волны

Эффект, возникающий при ограничении или лимитировании движения электронов физическими размерами области, в которой он находится, называется эффектом локализации или размерным квантованием или квантовым размерным эффектом.

Квантовый размерный эффект связан с квантованием импульса электрона. Вследствие чего непрерывный энергетический спектр электронов распадается на дискретные уровни, т.е. происходит квантование энергии спектра электрона.

В этом случае

В результате такого квантования электрофизические свойства электронов, например, удельное сопротивление образца, начинает осциллировать в зависимости от наноразмера образца. Проиллюстрируем графиком:

Эффекты такого рода наблюдаются в таких квантовых структурах, как тонкие полупроводниковые или металлические пленки, узкие приповерхностные области пространственного заряда (узкие каналы). В общем случае условно графически такие структуры можно изобразить:

В квантовой яме электроны проводимости локализованы по одному измерению и не локализованы по двум остальным в плоскости, перпендикулярной этому измерению, т.е. электроны в яме – двухмерный электронный газ.

Исторически эффекты такого рода впервые были экспериментально обнаружены в 60-х годах в тонких пленках.

В настоящее время технология изготовления полупроводниковых наноструктур находится на высоком уровне и продолжает быстро совершенствоваться.

Гетеропереходы типа

GaAs│Al_xGa_1-xAs,

где х – доля атомов галлия, замещенных атомами алюминия

и структуры типа МДП являются наиболее хорошо изученными типами квантоворазмерных наноструктур.

Совершенствование технологии сейчас позволяет получать гетеропереходы на основе и таких традиционных полупроводниковых материалов, как Ge и Si.

Существует ряд методов, позволяющих создавать структуры, в которых движение электронов имеет одномерный и даже 0 – мерный характер.

наноструктура	Размерность делокализации	Размерность локализации
Объемный полупроводник	3 (x, y, z)	0
Квантовая яма	2 (x, z)	1 (y)
Квантовая проволока	1 (z)	2 (x, y)
Квантовая точка	0	3 (x, y, z)

Понижение размерности структур, учет и использование новых физических явлений является одним из главных направлений развития современной наноэлектроники. При этом важнейшие характеристики приборов (например, быстродействие) значительно улучшаются, что можно проиллюстрировать:

Физически движение электронов в таких структурах эквивалентно их движению в потенциальной яме, т.е. в ограниченной области, отделенной от остального пространства потенциальными барьерами. Простейший пример потенциальной ямы – прямоугольный колодец с очень крутыми стенками.

Электроны в прямоугольной яме

Для упрощения задачи рассмотрим поведение электрона в потенциальной яме с бесконечными потенциальными стенками. Такое поведение электрона имеет место в тонких полупроводниковых и металлических пленках, т.к. работа выхода электронов из Ме и ПП порядка 4-5 эВ, а kT=0.0259 эВ.

0 0≤x≤ U= ∞ x<0, x>L,

тогда вероятность обнаружить электрон за пределами ямы равна 0, и соответственно волновая функция вне ямы тоже равна нулю.

Из условия непрерывности волновой функции на границах ямы следует, что в точках х=0 и х=L должно быть

- волновая функция, которую необходимо найти для решения этой задачи.

где

из первого условия ( ) вытекает, что , а из второго ( )

sin =0 при , тогда .

Т.о. мы доказали, что волновое число k (т.е. импульс электрона) в прямоугольной квантовой яме может принимать только дискретные значения. И, следовательно, энергетические уровни, занимаемые электронами в прямоугольной квантовой яме, также могут принимать только дискретные значения. Это следует из закона дисперсии:

, тогда

(*),

где n – главное квантовое число.

Основные свойства энергетического спектра электрона, находящегося в квантовой яме

1. Минимальная энергия, которой электрон обладает в потенциальной яме, отлична от нуля.

2. С ростом n расстояние между уровнями увеличивается.

3. Чем меньше размер ямы (т.е. меньше область локализации электрона), тем больше расстояние между уровнями.

4. При бесконечно большой ширине ямы (L →∞) дискретный спектр энергии становится сплошным.

Волновые функции

,

чтобы найти А, воспользуемся условиями нормировки:

, т.е. найдем интеграл от функции

, решив, получим

, тогда

- это есть уравнение стоячих волн или уравнение струны (см. рис.*).

В том случае, если потенциальная яма неодномерная и прямоугольная (локализация электронов двумерная и потенциальные барьеры прямоугольные с размерами L и W), то результаты можно обобщить следующим образом:

Волновая функция запишется как суперпозиция волновых функций вида:

, а энергия будет квантоваться:

.

Если L=5нм, m_e=10^-27г, то Е₁=0.02 эВ для свободного электрона.

Для электрона, находящегося внутри полупроводника m_e=10^-26г, Е₁=0.2 эВ.

Тонкая пленка, как двумерная система

Все выше приведенные формулы для Е_n относятся лишь к движению электронов поперек потенциальной ямы. В плоскости, параллельной стенкам ямы электроны продолжают двигаться как свободные, т.е. их энергетический спектр непрерывен.

Тогда полная энергия электрона складывается из энергии дискретного уровня и энергии свободного электрона:

Если концентрация электронов не слишком высока, а температура низка, то можно утверждать, что

Это означает, что большая часть электронов находится на первом уровне, обладая полной энергией, меньшей, чем уровень Е₂, а это, в свою очередь, означает, что в процессе взаимодействия электронов с кристаллической решеткой может изменяться только их импульс в плоскости y-z при неизменной энергии. Поэтому кванторазмерные структуры, в которых заполнен лишь один квантовый уровень, называются структурами с двумерным электронным газом.

Произвольная квантовая яма

Если потенциальная яма имеет конечную глубину и непрямоуголную форму, то энергия квантования не будет описываться формулой (*).

Но сам вывод о наличии квантования, т.е. о наличии дискретного энергетического спектра остается в силе.

Остается верной и порядковая оценка для энергий квантовых уровней, которую можно получить в общем случае из Гейзенбергского соотношения неопределенности.

Согласно соотношения неопределенности Гейзенберга для энергии:

, или размытие энергии на временной интервал, т.к.

, но и ~ , а

тогда

(т.к. )

Следовательно:

???Найти размерность этой величины

Мы знаем, что в произвольной квантовой яме выполняется соотношение

, т.е. картинка, вытекающая из этой формулы имеет вид:

нарисовать

Если нарисовать картинку, как одномерную, то

За счет непрерывной компоненты электроны принадлежащие одному и тому же дискретному уровню, могут обладать энергиями от Е_n до ∞.

Такая совокупность энергетических состояний для данного фиксированного n называется подзоной размерного квантования. Для квантовых ям размерность подзон всегда двумерная.

Условия, при которых наблюдаются кванторазмерные эффекты

Для того, чтобы описаное выше квантование энергетического спектра в тонких пленках могло проявиться в каких-либо наблюдаемых эффектах, необходимо, чтобы расстояние между энергетическими уровнями было достаточно велико. Поэтому на эти расстояния нужно наложить ряд ограничений.

1. Ограничение по тепловой энергии

Если это условие не выполняется, то практически одинаковая заселенность соседних уровней и частые переходы носителей между ними делают кванторазмерные эффекты ненаблюдаемыми.

2. Ограничение по уровню Ферми

Это условие важно в системах с вырождением, т.е., в которых уровень Ферми близко примыкает к краям зон валентной и проводимости. В таких системах

При невыполнении этого условия многие дискретные уровни будут заполнены. И хоть кванторазмерные эффекты будут в принципе наблюдаемыми, но при этом они будут составлять весьма малую относительную величину.

3. Ограничение по времени релаксации

В процессе своего движения в твердом теле подвижные носители (электроны и дырки) испытывают различные рассеяния на примесях, фононах кристаллической решетки (фонон – квант колебаний кристаллической решетки).

Временем релаксации называется время, задаваемое как

Их 2-го закона Ньютона сила – производная от импульса.

Физически τ – среднее время жизни носителей с заданным главным квантовым числом n и импульсами p_y и p_z.

сила×время=импульс

Из соотношений Гейзенберга вытекает, что конечное значение τ влечет за собой неопределенность в энергетическом состоянии

Тогда очевидно, что для того, чтобы наблюдать кванторазмерные эффекты нужно потребовать

Теоретически можно доказать, что это условие эквивалентно требованию, чтобы длина свободного пробега носителей значительно превосходила толщину пленки.

Из приведенных трех условий следуют важные практические выводы:

• для наблюдения кванторазмерных эффектов необходимо обеспечить малые толщины слоев локализации носителей зарядов, сравнимые с длиной волны де Бройля;

• достаточно низкие температуры;

• очень чистые материалы с высокой подвижностью носителей.

	m*	T	L100K	L300K
InSb	0.0133m0	100K	120 нм	10 нм
Si	0.92m0	100K	15 нм

Если взять всего два уровня первый и второй, то

тогда

Если L=100 нм, то μ_n>>10⁴см²/В·с.

Кремний не подходит для наблюдения кванторазмерных эффектов.

Квантовые ямы на МДП структурах

Технологически сверхтонкие чистые пленки из полупроводников получить весьма сложно. Причина в том, что сама по себе поверхность полупроводника- сложная неоднородная система с поверхностными состояниями, играющими роль центров рассеяния носителей, а также с различными атомами и ионами, захваченными из окружающей среды.

Поэтому для создания квантовых ям лучше всего подходят не простые тонкие пленки, а более сложные нанообъекты, такие как МДП структуры или полупроводниковые гетероструктуры.

Все современные приборы на квантовых ямах выполняются на этих двух типах структур.

Зонная диаграмма МДП – структуры

Электроны, находящиеся в инверсном слое, с квантовомеханической точки зрения находятся в потенциальной яме треугольной формы. Одна из стенок ямы – граница раздела «диэлектрик – полупроводник», роль другой стенки ямы играет изгиб зон, задаваемый электростатическим потенциалом

- поверхностная плотность электронов в инверсном слое, [cм^-2].

Тогда характерная толщина инверсного слоя ∆x^* оценивается на основе отношений:

- толщина инверсного слоя.

Но, с другой стороны, из принципа неопределенности

, тогда

(*)

Важнейшей особенностью МДП структур, отличающих их от других квантово- размерных систем, является возможность управлять поверхностной плотностью электронов путем изменения напряжения на затворе (U_x).

Данное свойство позволяет целенаправленно изменять энергетический спектр носителей заряда с помощью внешних воздействий – путем управления электрическим полем, согласно ф-ле (*), что в свою очередь, очень важно при создании перспективных электронных приборов.

Максимальная величина электронной плотности в канале определяется максимальным напряжением, которое можно приложить к затвору без риска пробоя диэлектрика.

Для современных кремниевых структур поверхностная плотность составляет n_s≈10¹³ cм^-2.

При изменении напряжения на затворе одновременно с изменением поверхностной плотности будут изменяться и расстояния между дискретными энергетическими уровнями. Этим свойством МДП структура отличается от тонких пленок, в которых концентрация электронов задается уровнем легирования пленки, а энергетические уровни определяются ее толщиной. Кроме того, в тонкой пленке квантование энергии выполняется для обоих типов носителей (электронов и дырок). В МДП структуре квантование происходит лишь для одного типа, а для другого квантовая яма не существует и их спектр энергии остается непрерывным.