ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ НАНОЭЛЕКТРОНИКИ

Корпускулярно-волновой дуализм и принцип Гейзенберга.

В классической физике мы обычно сталкиваемся с двумя типами объектов, а именно с частицами (типа точечных малых масс, которые фигурируют в уравнениях Ньютона) и волнами (типа электромагнитных или световых, поведение которых описывается уравнениями Максвелла). Однако при описании очень малых объектов, типа атома, оба варианта оказываются несостоятельными и мы вынуждены пользоваться понятиями квантовой механики, в основе которой лежит представление о дуальности «волна-частица», или, как говорят, о корпускулярно-волновом дуализме.

Еще в 1901 г. Планк предположил (для объяснения кривой излучения черного тела), что свет может излучаться или поглощаться лишь в виде некоторых порций- квантов или фотонов. При этом нергия фотона равна:

,

где h- постоянная Планка (h=6.62∙10^-34Дж∙с, ħ=h/2 );

- угловая частота.

Традиционно электроны рассматривались в качестве частиц, но в 1927 г. Девидсон и Джермер обнаружили явление дифракции электронов при отражении от поверхности кристалла никеля, как если бы они были волнами и подчинялись законам дифракции Брегга. Поэтому можно утверждать, что концепция дуализма основана на экспериментальных результатах. Действительно, как и показал де Бройль в 1924г., каждой частице с импульсом p можно сопоставить волну с длиной

Это уравнение может быть переписано в виде:

,

где k- волновое число.

Другой чрезвычайно важный квантово-механический закон был открыт в 1927г., когда Гейзенберг сформулировал свой принцип неопределенности, в соответствии с которым в любом эксперименте произведение ошибок измерения импульса частицы и ее координаты всегда должно превышать , т.е.

.

При этом подчеркнем, что принцип неопределенности – фундаментальное свойство природы, а вовсе не связано с конкретным типом приборов, используемых в эксперименте. В другой более вам известной формулировке этот принцип устанавливает связь между ошибками измерений энергии частицы ΔЕ и временным промежутком Δt, требуемым для ее измерения

Итак, по де Бройлю любую микрочастицу можно отождествить с некоторой электромагнитной волной. При этом:

• ,

где Е – энергия частицы,

- постоянная Планка,

• Волновой вектор определяется импульсом

• Длина волны де Бройля

Т.о. де Бройль отождествил движущуюся материальную частицу с плоской электромагнитной волной следующего вида:

,

где - радиус-вектор

- амплитуда плоской волны.

Нанообъекты и волны де Бройля

При определенных размерах частицы переходят к волновым свойствам. Наша задача определить эти размеры.

На основании формулы

Кинетическая энергия при 300К:

Е_кин=kT=0.0259 эВ, тогда λ=25 нм=250 Å.

Для металлов Е_кин=Е_F=(1-10) эВ

При одних и тех же условиях длина волны де Бройля для электрона в металле на порядок и более меньше, чем в полупроводниках.

Т.о. если толщина тонких пленок или структур, из которых состоят нанообъекты соизмеримы с длиной волны де Бройля, то в таких объектах, называемых нанообъектами, можно ожидать проявления волновых свойств электрона. Отсюда ясно, что объекты наноэлектроники легче реализовать на п/п материалах, а не на металлах.

Волновые функции и уравнение Шредингера

В МЭ приборах поведение электрона определяется как поведение элементарной частицы, которая имеет вполне определенный импульс и энергию. Такие частицы двигаются по траекториям, которые можно рассчитать с помощью уравнения Ньютона (TV трубка).

В НЭ приборах поведение электрона основывается на иных принципах. Главная особенность квантово-механического описания электрона состоит в том, что электрон, оставаясь частицей, подобен волне (принцип де Бройля). При этом его пространственные координаты и величину импульса невозможно определить с высокой точностью, т.е. невозможно предсказать направление, если известно, что в данный момент он расположен в какой-либо области пространства.

Что еще более важно: поведение электрона теряет детерминированный характер, т.е. если в некоторый момент времени частица находилась в ограниченной области пространства, то в будущем невозможно достоверно предсказать ее местонахождение. Можно говорить лишь о распределении частиц в пространстве, о вероятности обнаружить ее в заданном месте. Величина, описывающая это распределение, называется волновой функцией частицы.

Т.е. волновая функция – это функция которая задает вероятностное статистическое описание местонахождения электрона в пространстве.

Интенсивность этой функции, а точнее квадрат ее модуля определяет вероятность обнаружения частицы в той или иной области.

- вероятность нахождения частицы.

Волновая функция – основная характеристика наноэлементов. Она содержит в себе полную информацию об электроне или др. частицах в отдельно взятом атоме или молекуле, а также в целом по всему кристаллу.

В общем случае уравнение Шредингера имеет вид:

, (1)

где m- масса частицы,

U- потенциал поля, в котором движутся частицы.

Его решение – комплексно-значная функция. Хотя сама функция не имеет физического смысла, ее произведение на комплексно-сопряженное число представляет реальную величину, а именно вероятность обнаружения частицы в элементе объема

Есть объем, в котором находятся все частицы.

Если проинтегрировать эту функцию по всему объему, то получим условие нормировки уравнения Шредингера:

Если U не зависит от времени, то решение этого уравнения можно записать в виде

А стационарное уравнение Шредингера (не зависящее от времени) примет вид

.

Движение свободной микрочастицы

Микрочастица называется свободной, если на нее не действуют никакие силы, т.е. U=0, тогда стационарное уравнение Шредингера можно записать в виде

Если решать это уравнение относительно x, получим:

Следовательно, волновая функция-суперпозиция двух плоских волн, распространяющихся в противоположных направлениях (падающая и отраженная).

Для микрочастицы можно записать

,

где Е- полная энергия электрона,

U- потенциальная энергия.

Для свободной частицы U=0, значит,

Эта формула показывает, что энергия свободной частицы - квадратичная функция от волнового вектора, т.е. свободная частица может обладать любыми энергиями, и ее энергетический спектр является непрерывным (сплошным). Зависимости энергии от волнового числа называются законами дисперсии.

Прохождение микрочастицы через потенциальный барьер

(Туннельный эффект)

Уникальным свойством квантовых частиц, в том числе и электронов, является их способность проникать через преграду даже в тех случаях, когда их энергия ниже потенциального барьера, соответствующего данной преграде. Это явление, т.е явление проникновения электрона через потенциальный барьер, в условиях, когда энергия электрона меньше высоты потенциального барьера, называется туннелированием (Т) (рыба проходит через стекло аквариума)..

Схематически оно представлено на рис.

Будь электрон классической частицей, обладающей энергией Е, он, встретив на своем пути преграду, требующую для преодоления большей энергии U, должен был бы отразиться от этой преграды. Однако как волна, он хотя и с потерей энергии, но проходит через эту преграду. Соответствующая волновая функция, а через нее и вероятность туннелирования рассчитываются из уравнений Шредингера.

Эта вероятность тем выше, чем геометрически тоньше барьер и меньше разница между энергией падающего электрона и высотой барьера.

Туннелирование играет большую роль в МЭ, и особенно в НЭ. Этот эффект объясняет такие явления, как

• эмиссия электронов под действием сильного поля;

• прохождение тока через тонкие диэлектрические пленки;

• пробой р-п перехода.

В НЭ на эффекте туннелирования работают такие приборы, как резонансные туннельные диоды и транзисторы , одноэлектронные транзисторы, сканирующий туннельный микроскоп (СТМ).

Рассмотрим взаимодействие эектрона с потенциальным барьером. Задача 1-D (одномерная).

U₀ при x > 0

U(x)=

0. при x < 0

Дя решения этой задачи пользуются я региональным методом нахождения волновых функций в отдельности для каждой из областей, а на их границе «склеивают» или «сшивают»полученное решение.

Условия склейки на границе потенциального барьера должны обеспечивать непрерывность волновой функции в точке х=0, а также непрерывность производных в этой точке.

Для решения этой задачи необходимо найти волновую функцию, решая уравнение Шредингера:

Для I области Для II области

Общее решение для I области

Для II области

А₁- амплитуда падающей волны;

В₁ – амплитуда отраженной волны;

А₂- амплитуда прошедшей волны;

В₂ – амплитуда волны, двигающейся в противоположном направлении в области II.

Из физических соображений полагаем В₂ равной 0 (т.к. х→∞ и волна отразиться не может), т.е. в области II нет условий для возникновения отраженной волны, тогда в области II

???Вычислить квадраты модулей волновых функций

???Выразить амплитуды прошедшей и отраженной волн (В₁ и А₂) через амплитуду падающей волны (А₁) на основе условия склейки

Ответы: B₁=A₁(k₁-k₂)/ (k₁+k₂); А₂=A₁2k₁/ (k₁+k₂)

В данной задаче имеют физический смысл коэффициент отражения R и коэффициент прохождения частицы D(коэффициент прозрачности).

По определению

,

где - показатель преломления волны де Бройля.

???Если известны два волновых числа k₁ и k₂, то чему равен показатель преломления волны?

Ответ:

Физически R+D=1 – электрон либо отразится, либо пройдет через потенциальный барьер.

Рассмотрим частные случаи взаимодействия электрона с потенциальным барьером.

1.Случай низкого барьера

Частица находится выше барьера Е>U₀, в этом случае k₂ будет действительным числом.

Тогда из условия склейки

Если барьер низок, то в квантовой механике, в отличие от классической, существует некоторая вероятность того, что частица отразится от барьера.

Рассмотрим предельный случай Е=U₀. В этом случае k₂=0,

R=1, D=0, тогда в классической механике частица преодолеет барьер, а в квантовой отразится. Построим график R=f(E/U₀) и D=f(E/U₀).

(вставить график)

2.Случай высокого барьера

E<U₀

В этом случае k₂ – комплексное число, т.е. k₂ = ik, тогда

- обыкновенная функция, убывающая по экспоненте. Вероятность нахождения частицы за барьером не равна нулю. Отличие от нуля означает, что существует отличная от нуля вероятность события, состоящего в том, что электрон проникнет в область II.

Построим график =f(d)