Лекция 6

6.1. Прямая линия на плоскости

Из аксиом геометрии известно, что через две точки проходит единственная прямая, и через точку, лежащую на прямой можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной прямой.

В плоскости зададим прямоугольную систему координат и прямую, проходящую через точку , перпендикулярно вектору . Пусть - произвольная точка прямой. Обозначим через и радиус-векторы точек и . Вектор лежит на прямой, а следовательно векторы и перпендикулярны. Значит, их скалярное произведение равно нулю: .

Полученное равенство называется векторным уравнением прямой на плоскости. Поскольку , то, расписывая это равенство, получаем следующее уравнение:

.

Раскрывая скобки и обозначая: , получим общее уравнение прямой:

.

Вектор называется нормальным вектором прямой. Допустим, что , тогда

.

Разделим соотношение на B:

.

Обозначим .

Получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом:

,

где – угловой коэффициент прямой, ─ угол, образованный прямой с положительным направлением оси Ох. Число b представляет собой величину отрезка, отсекаемого на оси Оу этой прямой.

Пусть прямая проходит через точку . Тогда . Вычтем полученное соотношение и уравнения с угловым коэффициентом. Получили уравнение прямой, проходящей через точку , имеющую угловой коэффициент k:

.

Пусть прямая проходит через точки и . Тогда справедливы соотношения , . Разделив одно соотношение на другое получим уравнение прямой, проходящей через две точки:

.

Определим направляющий вектор прямой как ненулевой вектор, параллельный данной прямой. Найдем уравнение прямой, проходящей через заданную точку и имеющей направляющий вектор . Очевидно, что точка лежит на указанной прямой если векторы и коллинеарны, а значит, координаты пропорциональны:

.

Это уравнение и называют каноническим уравнением

прямой линии на плоскости.

Из канонического уравнения можно получить параметрические уравнения прямой. Действительно, из этого уравнения можно записать:

, или

Эту систему можно наглядно представить. Если считать t временем, то координаты х и у есть координаты точки, двигающейся по линии с направляющим вектором и имеющей скорость .

Пусть две прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами: и , причем .

Из геометрических соображений ясно, что ,

тогда .

Угол между прямыми может быть найден по формуле:

Из данной формулы получаем следующие утверждения.

Условие параллельности прямых:

Условие перпендикулярности прямых:

Допустим, что в общем уравнении Разделим уравнение на (- С):

.

Обозначив , получим уравнение прямой «в отрезках»:

.

Эта прямая пересекает оси координат в точках (a, 0) и (0, b).

Уравнение прямой в нормальной форме имеет вид:

,

где р- расстояние от начала координат до прямой. Общее уравнение прямой приводится к нормальной форме умножением на нормирующий множитель . Знак выбирается противоположным знаку свободному члену C, то есть из условия . Получается уравнение

.

Расстояние от точки до прямой находится по формуле:

.

Если прямая задана общим уравнением , то расстояние от точки до прямой находится по формуле:

.

Пример. Найти уравнения прямых, проходящих через точку М(1,-2) параллельно и перпендикулярно прямой 2х-3у+6=0.

Решение. Преобразуем уравнение заданной прямой к виду: . Параллельная прямая имеет коэффициент , ее уравнение , .

Прямая, проходящая перпендикулярно, имеет коэффициент , ее уравнение , .#

Пример. Даны вершины треугольника A(-2,1), B(3,2), C(1,5). Найти : уравнение стороны АС; длину высоты BD; уравнение медианы АК.

Решение. Для определения уравнения АС используем уравнение прямой, проходящей через две точки:

, , .

Длину высоты BD найдем как расстояние от точки В(3,2) до прямой АС (4х-3у+11=0):

.

Найдем середину К стороны ВС: , .

Уравнение медианы АК:

, ,

раскроем скобки и умножим на 2:

.#