Дифференциальные уравнения второго порядка.

Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

F(x,y, y',y") =0

где х – независимая переменная, у, y' и y" - соответственно неизвестная функция и ее первая и вторая производные.

y" = f(x,y,y') - явная форма записи дифференциального уравнения

Решением дифференциального уравнения второго порядка называется дважды дифференцируемая функция y = g(x) такая, что дифференциальное уравнение превращается в тождество при замене y на g(x), y' на g' (x) и y" на g" (x)

F(x,g(x), g'(x),g" (x))= 0 или g"(x)=f(x,g(x),g'(x))

Если функция y = j(x,C₁,C₂), содержащая две произвольные постоянные С₁ и С₂, является решением дифференциального уравнения второго порядка, то такое решение называется общим решением (в явной форме).

Решение, полученное из общего при некоторых частных значениях постоянных С₁=С₁^* и С₂=С₂^*, называется частным решением:

y = j(x,C₁^*,С₂^*).

Решить дифференциальное уравнение означает найти его общее решение.

В процессе нахождения общего решения часто приходят к соотношению следующей формы:

Ф(x,y,C₁,С₂)=0 - общее решение в неявной форме или общий интеграл.

Ф(x,y,C₁^*,С₂^*) = 0 - частное решение или частный интеграл.

Задача Коши состоит:

• B нахождении общего решения y = j(x,C₁,С₂) (общего интеграла Ф(x,y,C₁,С₂) = 0) дифференциального уравнения первого порядка.

• В отыскании частного решения y = j(x,C₁^*,С₂^*) (частного интеграла Ф(x,y,C₁^*,С₂^*) = 0), где значение постоянных С₁ = С₁^* и С₂ = С₂^* находят из начальных условий:

у = y₀ при х = х₀ и y¢ = y₀¢ при х = х₀,

то есть значение С₁ и С₂ находят из решения системы уравнений:

Типы дифференциальных уравнений второго порядка

1. Линейные однородные уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейными однородными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами. называются дифференциальные уравнения вида

y" + py' + qy = 0,

где р и q – некоторые постоянные.

Для решения дифференциального уравнения составляют характеристи-ческое уравнение:

к² + рк + q = 0.

При решении квадратного уравнения возможны следующие 3 случая:

1) Если корни характеристического уравнения различные, действительные числа k₁ ¹ k₂; k₁,k₂Î R, то общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:

2) Если корни характеристического уравнения действительные и равные числа k₁ = k₂, то общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

3) Если корни характеристического уравнения комплексные k₁ = a + b i; k₂ = a -b i, где

i – мнимая единица,

то общее решение дифференциального уравнения (1) имеет вид:

где

С₁ и С₂ – произвольные постоянные.

2.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейными неоднородными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами. называются уравнения вида

y" + py' + qy = f(x),

где р и q – произвольные постоянные, f(x) – некоторая непрерывная функция.

Общее решение неоднородного линейного неоднородного дифференциаль-ного уравнения следует находить в виде:

у = y₀ + y_част. ,

где у₀ - общее решение соответствующего линейного однородного уравнения:

y" + py' + qy = 0 ,

y_част. - частное решение исходного неоднородного дифференциального уравнения.

Установлено, что если функция f(x) имеет вид: f(x ) = P_n(х)е^aх, где P_n(х) – многочлен n степени, a=const, aÎR, то y_част находят в следующем виде:

1. Если число a нявляется корнем характеристического уравнения k²+рk+q=0, тогда

y_{част .}= Q_n(x)e^ax

2. Если a совпадает с одним из корней характеристического уравнения k²+рk+q=0: a = k₁ или a = k₂, тогда

y_част.= xQ_n(x)e^ax

3. Если оба корня характеристического уравнения k² + рk + q = 0 равны a: k₁ = k₂ = a, тогда

y_част. = x²Q_n(x)e^ax.

Здесь Q_n(x) – многочлен степени n с неопределенными коэффициентами, которые в дальнейшем подлежат определению (см. примеры).