Тема. Дифференциальные уравнения

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F( x,y,y^' ) = 0, где х - независимая переменная, у и у¢ - соответственно неизвестная функция и ее первая производная. Это неявная форма записи дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение первого порядка может быть записано в явной форме y^' = f(x,y).

Решением дифференциального уравнения первого порядка называется дифференцируемая функция y = g(x) такая, что уравнение превращается в тождество при замене y на g(x) и y' на g^'(x), то есть

F(x, g(x), g^'(x)) = 0 или g^'(x) = f(x,g(x)).

Если функция y = j(x,C), содержащая одну произвольную постоянную С, является решением дифференциального уравнения первого порядка, то такое решение называется общим решением (в явной форме).

Решение, полученное из общего при некотором частном значении постоянной С = С₀ называется частным решением: y = j(x,C₀).

Решить дифференциальное уравнение означает найти его общее решение.

В процессе нахождения общего решения часто приходят к соотношению следующей формы: Ф(x,y,C) = 0 – общее решение в неявной форме или общий интеграл. Частное решение вида Ф(x,y,C₀) = 0 называют также частным интегралом.

Задача Коши состоит:

• B нахождении общего решения y = j(x,C) (общего интеграла Ф(x,y,C ) = 0) дифференциального уравнения первого порядка.

• В отыскании частного решения y = j(x,C₀) (частного интеграла Ф(x,y,C₀) = 0), где значение постоянной С =С₀ находят из начальных условий: y=y₀ при х=х₀ или y(x₀) = x₀, то есть значение С находят из решения уравнений: y₀ =j(x₀,C) или Ф(x₀,y₀,C) = 0.

Типы дифференциальных уравнений первого порядка

1. Уравнения с разделенными переменными

К ним относятся дифференциальные уравнения вида

P(y)dy = Q(x)dх,

где P(y) и Q(x) – непрерывные функции. Интегрируя обе части данного уравнения, найдем его общий интеграл -общее решение:

òP(y)dy = òQ(x)dx +C.

2. Уравнения с разделяющимися переменными

К ним относятся дифференциальные уравнения вида

y' = f₁(x)f₂(y) или j₁(x)f₁(y)dy = j₂(x)f₂(y)dx,

где все указанные функции непрерывны.

Данные дифференциальные уравнения. простыми преобразованиями сводятся к уравнениям с разделенными переменными, которые затем интегрируются

или

3. Однородные уравнения первого порядка

К ним относятся дифференциальные уравнения вида

y' = f(x,y),

где непрерывная функция f(x,y) удовлетворяет условию: f(lx,ly)=f(x,y). Такие

уравнения с помощью подстановки y = zx, где z – новая переменная и y' =

= z'x + z сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными z и х.

Линейные уравнения первого порядка.

К ним относятся дифференциальные уравнения вида

y' + P(x)y = Q(x),

где P(х) и Q(х) – непрерывные функции.

Если Q(x) ¹ 0 – уравнение называется линейным неоднородным, если Q(x)=0 – линейным однородным.

Общее решение линейного уравнения может быть записано в форме:

у = y_o + y_част , где

• y₀ – общее решение соответствующего однородного уравнения:

y' + P(x)y = 0,

которое является уравнением с разделяющимися переменными, общее решение этого уравнения равно:

• y_част. – частное решение соответствующего неоднородного уравнения, которое можно найти по формуле: