П.5. Корни из единицы.

   Пусть   – натуральное число. По формуле корней из комплексногочисла, существует ровно n корней из комплексного числа  . Для вычисления этих корней запишем единицу в тригонометрическойформе:

, т.е.  ,  .

   Обозначим все множество корней через  . По формуле корней получаем:

                    ,                               (6)

               ,   .            (7)

В частности,   ,

                           .                                  (8)

Заметим, что   верна формула:

                                      .                                          (9)

Действительно, равенство (9) сразу же получается по формуле Муавра:

.

Теперь мы все множество корней   из 1 можем записать так:

                                                (10)

Теорема. Множество всех корней из 1 является коммутативной группой.

   Доказательство. Сначала мы должны показать, что множество   замкнуто относительно умножения. Пусть   – два произвольных корня из 1, т.е.  . Найдем их произведение:

                                        .

Замечаем, что

            .         (11)

Отсюда следует, что  , если  . В противном случае,  . Обозначим через   и  . Тогда

              , ч.т.д.

   Таким образом, на множестве   определена операция умножения и т.к. она ассоциативна и коммутативна в поле комплексных чисел, то она ассоциативна и коммутативна и на множестве  . Далее,  . Покажем, что любой элемент из   имеет обратный элемент также принадлежащий множеству  :

                          .

Действительно, по условию  . Тогда

, т.е.  .

Теорема доказана.

Пример. Построить таблицу умножения для группы  .

Решение. Обозначим  для простоты

. Тогда , где  .

Заполняем таблицу Кэли (таблицу умножения):

                      

Изобразим все корни третьей степени из 1 на комплексной плоскости. Т.к. их модуль равен 1, то все они лежат на тригонометрической (т.е. единичной) окружности:

З десь,  ,  .

П.5. Понятие корня натуральной степени из комплексного числа.

Определение. Пусть  – произвольное натуральное число. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число  , такое, что  .

   Позже будет доказана следующая теорема, которую мы пока примем без доказательства.

Теорема. (О существовании и количестве корней n-й степени из комплексного числа.)

Существует ровно n корней n-й степени из комплексного числа.

   Для обозначения корней n-й степени из комплексного числа применяют обычный знак радикала. Но есть одно существенное отличие. Если а – положительное действительное число, то   по определению обозначает положительный корень n-й степени, его называют арифметическим корнем.

   Если n – нечетное число, то существует единственный корень n-й степени из любого действительного числа а. При   этот единственный корень   является по определению арифметическим, при   этот единственный корень   не является арифметическим, но может быть выражен через арифметический корень из противоположного числа:  , где   является арифметическим, т.к.  .

   Если n – четное число, то существует ровно два действительных корня n-й степени из положительного числа и они являются противоположными числами, поэтому один из них положительный, его и обозначают

 и называют его арифметическим, а второй будет

отрицательным, противоположным арифметическому и

его обозначают  .

   В любом случае, знак   обозначает (при условии, что это выражение имеет смысл) только одно число, один корень.

   В случае же, если   – комплексное число, то для любого натурального числа n выражение   всегда имеет смысл и обозначает все множество корней n-й степени из комплексного числа z.

Обозначение:  , где   – все n корней n-й степени из комплексного числа z, так что по определению    .

   В частности, при   существуют ровно два корня из комплексного числа z и легко видеть, что, если   – квадратный корень из комплексного числа z, то  , т.е. оба корня   и   являются противоположными комплексными числами, поэтому вместо записи   применяют запись  .

   Заметим, что если  , то  . Действительно, допустив противное, мы бы имели равенство  , т.е. получили бы противоречие предположению, что  .

п.6. Извлечение квадратного корня из комплексного числа.Формула квадратных корней из комплексного числа.

   В дальнейшем нам понадобится одна числовая функция:

             обозначим  .

Эту функцию называют знаком числа х и читается она так: "сигнум икс".

Теорема. Пусть  . Тогда

(7)       , где квадратныекорни в скобках являются арифметическими квадратными корнями из положительных чисел.

   Доказательство. Как мы уже выяснили существует ровно дваквадратных корня из комплексного числа, причем они являются противоположными числами. Пусть  , где  . Тогда   или  . Возведем в квадрат левую часть этого равенства и воспользуемся условиями равенства двух комплексных чисел. Получаем:

(8)                                .

   Возведем в квадрат каждое уравнение этой системы:  . Прибавим второе уравнение к первому: 

  .

Здесь   – обычный арифметический квадратный корень из положительного действительного числа. Далее, если полученная системаимеет решение, то по обратной теореме Виета   и   являются корнями квадратного уравнения  . Находим дискриминант  . Отсюда  . Оба корня квадратного уравнения оказываются положительными, т.к., очевидно,  . При выборе корней учитываем равенства (8), а именно  . Отсюда следует, что   и

. Осталось правильно выбрать знаки перед знаками радикалов. Из равенств (8) следует, что  . Положим  , тогда  , откуда и следует доказываемая формула. Теорема доказана.

Пример. Вычислить  .

Решение. Используем только что доказанную формулу корней. Здесь  . Подставляем в формулу и получаем:

.

Ответ:  .

   Замечание. Можно не запоминать формулу (7) ввиду ее громоздкости, а при решении использовать алгоритм доказательства теоремы. Решим таком образом предыдущий пример.

Пусть  . Тогда  . Это возможно лишь тогда равны вещественные и мнимые части обоих комплексных чисел:  . Возводим оба уравнения системы в квадрат:  . Прибавляем второе уравнение к первому:  . Применяем обратную теорему Виета:

. Решаем квадратное уравнение:  . Так как  , то  . Принимаем  . Так как  , то  . Получили один из двух корней:  . Второй корень противоположен первому.

Ответ:  .

   Конечно, этот способ, в отличие от первого, занимает у нас некоторое время, но зато алгоритмы запоминаются лучше, нежели формулы.

   Нам будет интересен частный случай формулы (7), когда мнимая частьчисла z равна нулю.

Следствие. Пусть  – произвольное действительное число. Тогда имеет место следующая формула:

(9)          .

Доказательство очевидно, достаточно подставить в формулу (7)   и вспомнить, что арифметический квадратный корень из квадрата действительного числа равен его модулю:  .

   Теперь, если  , то формула (9) дает оба корня из положительного действительного числа а:  .

   Не будем забывать, что квадратный корень в левой части формулы (9) обозначает все множество корней из комплексного числа  , а квадратные корни в правой части формулы (9) обозначают арифметические квадратные корни из неотрицательных действительных чисел. Обозначение одно и то же, с помощью знака радикала, а смыслразличный.

   Пусть теперь  . Тогда   и формула (9) дает равенство:  . Здесь  – арифметический квадратный корень из положительного числа  .

   Случай   очевиден:  .

Интерес представляет случай корня квадратного из отрицательного числа. Сформулируем этот случай отдельно в виде следствия.

Следствие. Пусть   и  . Тогда оба квадратных корня из числа z могут быть найдены по формуле:

(10)                  .

Примеры:  ,  ,  .

Замечание. Обратите внимание на последнее равенство:

                                        .

Это верное равенство, т.е.   по определению есть множество всехкорней из числа  –1, в то время как равенство   неверное, с этой точки зрения! Именно поэтому нельзя переносить свойства корней из действительных чисел на корни из комплексных чисел, как показывает следующий простой пример.

Пример. Найдите ошибку в следующих преобразованиях:

.

   С другой стороны, легко доказать следующую теорему.

Теорема. (О вынесении действительного множителя из под знака корня.) Пусть , n – произвольное натуральное число. Тогда

(11)                         ,

 где   есть обычный арифметический корень из положительного числа.

Доказательство. Равенство (11) здесь нужно понимать как равенстводвух множеств:  – множество всех корней n-йстепени из комплексного числа  ,  – множество всех корней n-й степени из комплексного числа z,

  .

Отсюда вытекает и способ доказательства. Мы докажем, что оба множества состоят из одних и тех же элементов.

Пусть  . Тогда  . Отсюда следует, что  . Обратно, Пусть  . Тогда  . Следовательно,  , ч.т.д. Теорема доказана.

Замечание. Предыдущее следствие можно вывести и из только что доказанной теоремы.

Следствие. Пусть   и   Тогда  .

   Доказательство. Рассматриваем отрицательное число а как комплексное число  . Тогда доказываемое равенство сразу же следует из только что доказанной теоремы:  .

Пример. Вычислить  .

Решение. Применим только что доказанную теорему:  .

Ответ:  .