6.3. Собственный вектор и собственное число линейного оператора
Пусть в пространстве задан линейный оператор .
Определение. Ненулевой вектор , удовлетворяющий соотношению , называется собственным вектором, а соответствующее число – собственным значением оператора .
Из данного определения следует, что
образом собственного вектора
является коллинеарный ему вектор
.
Отметим некоторые свойства собственных векторов оператора .
1. Каждому собственному вектору соответствует единственное собственное число. Предположим обратное: пусть собственному вектору оператора соответствуют два собственных числа . Это значит, что
,
.
Но отсюда следует, что
Так как по условию
– ненулевой вектор, то
.
2. Если
и
– собственные векторы оператора
с одним и тем же собственным числом
,
то их сумма
также является собственным вектором
оператора
с собственным числом
.
Действительно, так как
и
,
то
.
3. Если
– собственный вектор оператора
с собственным числом
,
то любой вектор
,
коллинеарный вектору
,
также является собственным вектором
оператора
с тем же самым собственным числом
.
Действительно,
.
Таким образом, каждому собственному числу соответствует бесчисленное множество коллинеарных собственных векторов. Из свойств 2 и 3 следует, что множество собственных векторов оператора , соответствующих одному и тому же собственному числу, образует пространство, которое является подпространством пространства .
Докажем теорему о существовании собственного вектора.
Теорема. В комплексном линейном пространстве каждый линейный оператор имеет, по крайней мере, один собственный вектор.
Доказательство.
Пусть
– линейный оператор, заданный в
пространстве
,
а
– собственный вектор этого оператора
с собственным числом
,
т.е.
.
Выберем произвольный базис
и обозначим координаты вектора
в этом базисе через
.
Тогда, если
– матрица оператора
в базисе
,
то, записывая соотношение в матричной
форме, получим
где
|
(6.3.1) |
.В координатной форме матричное уравнение (6.3.1) имеет вид
|
(6.3.2) |
Для отыскания собственного вектора
необходимо найти ненулевые решения
системы (6.3.2), которые существуют тогда
и только тогда, когда определитель
системы равен нулю, т.е. когда
.
Отсюда следует, что собственное число
линейного оператора
является его характеристическим числом,
которое всегда существует. Подставляя
это число в систему (6.3.2), найдет ненулевое
решение этой системы, которое определяет
искомый собственный вектор. Теорема
доказана.
Из данной теоремы следует, что нахождение
собственного числа линейного оператора
и соответствующего ему собственного
вектора
сводится к решению характеристического
уравнения
.
Пусть
– различные корни характеристического
уравнения. Подставив какой-нибудь корень
в систему (6.3.2), найдем все ее линейно
независимые решения, которые и определяют
собственные векторы, соответствующие
собственному числу
.
Если ранг матрицы
равен r и r<n,
то существует k=n-r
линейно независимых собственных
векторов, отвечающих корню.
Пример. Найти собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей
.
Решение. Составим характеристическое уравнение
,
или
откуда
.
Подставляем корни в систему (6.3.1). Найдем собственные векторы оператора .
При
имеем
.
Получим однородную систему трех линейных
уравнений, из которых только одно (любое)
является линейно независимым. Общее
решение системы имеет вид
.
Найдем два линейно независимых решения:
.
Тогда собственные векторы, соответствующие собственным значениям , имеют вид
,
где с – произвольное действительное число, отличное от нуля.
При
имеем
.
Общее решение данной системы имеет вид
Собственный вектор, соответствующий собственному значению , равен
.
Теорема. Пусть собственные значения
оператора
попарно различны. Тогда отвечающие им
собственные векторы
линейно независимы.
Доказательство. Используем метод индукции по числу переменных. Так как – ненулевой вектор, то при p=1 утверждение теоремы справедливо.
Пусть утверждение теоремы справедливо
для m<p
векторов
.
Присоединим к этим векторам вектор
и допустим, что имеет место равенство
|
(6.3.3) |
Используя свойство линейного оператора, получим
|
(6.3.4) |
Так как
,
-собственные векторы, то
и поэтому равенство (6.3.4) можно переписать
следующим образом:
|
(6.3.5) |
Умножим (6.3.3) на
и вычтем из (6.3.5), получим
|
(6.3.6) |
По условию все
,
различны, поэтому
.
Система векторов
– линейно независимая. Поэтому из
(6.3.6) следует, что
.
Тогда из (6.3.3) и из условия, что
– собственный вектор (
),
получаем
.
Это означает, что
– система линейно независимых векторов.
Индукция проведена. Теорема доказана.
Следствие: если все собственные
значения
попарно различны, то отвечающие им
собственные векторы
образуют базис пространства
.
Теорема. Если в качестве базиса пространства принять n линейно независимых собственных векторов, то оператору в этом базисе соответствует диагональная матрица
.
Доказательство.
Рассмотрим произвольный вектор
и базис, составленный из собственных
векторов
этого пространства. Тогда
,
где
– координаты вектора
в базисе
.
Применяя к вектору
оператор
,
получим
или
.
Так как
,
– собственный вектор, то
.
Тогда
|
(6.3.7) |
Из (6.3.7) имеем
…………
|
(6.3.8) |
,
,
.Равенства (6.3.8) означают, что матрица линейного оператора в базисе имеет вид
.
Теорема доказана.
Определение. Линейный оператор в пространстве Rn называется оператором простой структуры, если он имеет n линейно независимых собственных векторов.
Очевидно, что операторы простой структуры, и только они, имеют диагональные матрицы в некотором базисе. Этот базис может быть составлен лишь из собственных векторов оператора . Действие любого оператора простой структуры всегда сводится к «растяжению» координат вектора в данном базисе.