3. Понятия случайных полей.

Случайные поля это многопараметрические взаимно обусловленные случайные процессы, описывающие, как правило, распределенные в пространстве и во времени объекты (явления).

Примерами случайных полей являются изменение яркости изображения принимаемого телевизионного сигнала в двух координатах, определяющих точку на плоскости экрана, турбулентность атмосферы или диэлектрическая проницаемость тропосферы, в пределах границ распространения радиосигнала.

Наряду со случайными функциями одной переменной в ряде задач возникают случайные функции нескольких переменных, или случайные поля.

Примером таких функций являются ординаты поверхности моря как функции координат горизонтальной проекции выбранной точки волновой поверхности и времени, составляющая скорости ветра как функция координат выбранной точки земной атмосферы и т. п.

Пусть является случайной функцией своих (неслу­чайных) аргументов , которые можно рассматривать как координаты некоторой точки А в пространстве п измерений. Будем обозначать для краткости случайную функцию через , понимая под ξ многомерный вектор с составляющими .

Очевидно, так же как и для случайной функции одного аргумента, может быть нормальной случайной функцией или не обладать свойством нормальности.

Кроме того, подобно понятию стационарной функции в широком смысле, в многомерном случае введем понятие однородного случайного поля, понимая под этим такую случайную функцию нескольких переменных, для которой математическое ожидание является постоянным, а корреляционная функция

зависит только от разности векторов и , т. е.

,

где .

Для однородного случайного поля (для функции многих переменных) задание корреляционной функции эквивалентно заданию спектральной плотности и, наоборот, спектральная плотность случайного поля однозначно характеризует его корреляционную функцию.

Еще более частным случаем функции многих переменных, чем однородное случайное поле, является однородное случайное изотропное поле, для которого корреляционная функция зависит только от расстояния между двумя точками поля и не зависит от направления вектора η.

Таким образом, для однородных изотропных полей корреляционная функция и спектральная плотность являются функциями одной переменной, причем, подобно тому как это имело место для случайной функции одной переменной .

Рассмотрим однородное не изотропное поле.

Заметим, во-первых, что, закрепляя одну из переменных из n-мерного поля, мы получим поле n-1 измерения, корреляционная функция и спектральная плотность которого вследствие однородности процесса не зависят от выбранного значения и однозначно опре­деляется функциями .

Действительно, обозначив получающееся таким образом случайное поле буквой , где штрихом будем отмечать вектор п-1 измерений, корреляционная функция может быть получена из корреляционной функции путем простой замены j-ой компоненты вектора η нулем, т. е.

.

Таким образом, можно сформулировать окончательное правило для получения корреляционной функции и спектральной плотности однородного случайного поля (n-1) измерений, получаемого из однородного случайного поля п измерений путем закрепления j аргументов этого поля, необходимо в корреляционной функции последнего соответствующие аргументы заменить нулями.

Так как направление осей координатной системы , может быть выбрано произвольно, то полученные выше формулы позволяют

определить корреляционную функцию и спектральную плотность кривой, получающейся в сечении поверхности случайного поля плоскостью, проходящей через ось X и составляющей заданный угол с осью .

Случайные поля, подобно случайным функциям одной переменной, могут быть дифференцируемыми или не дифференцируемыми, причем в последнем случае производная может не существовать для всех аргументов ноля или только для некоторых из них. Можно убедиться, что условием дифференцируемости случайного поля по одному из его аргументов (например, по ) является существование второй частной производной от кор­реляционной функции

при .

Если производная существует, то для нахождения корреляционной функции производной необходимо найти вторую смешан­ную частную производную от корреляционной функции , т. е.

Остается также справедливым для случайного поля и общее пра­вило нахождения корреляционной функции результата применения линейного оператора к случайной функции многих переменных, т. е. для этого достаточно дважды применить этот линейный оператор к корреляционной функции исходного поля, рассматривая ее сначала как функцию аргумента , а затем как функцию аргумента .

Если случайное поле однородно, то производные от него будут также обладать однородностью.

При исследовании случайных полей возникают задачи, подобные случайным функциям одной пере­менной. Решение большинства этих задач может быть получено методами, аналогичными одномерному случаю, причем, так же как и для функции одного переменного, часть из этих задач может быть решена в рамках корреляционной теории, другие же задачи требуют знания законов распределения ординат случайных функций или мо­ментов более высокого порядка. Для нормальных процессов матема­тическое ожидание и корреляционная функция случайного поля пол­ностью определяют все законы распределения и, следовательно, пол­ностью характеризуют случайную функцию многих переменных.