Свойства математического ожидания случайной функции
Свойство 1. Математическое ожидание неслучайной функции φ(t) равно самой неслучайной функции:
Свойство2. Неслучайный множитель φ(t) можно выносить за знак математического ожидания:
Свойство 3. Математическое ожидание суммы двух случайных функций равно сумме математических ожиданий слагаемых:
Аналогичным образом определяется дисперсия случайной функции. Дисперсией случайной функции X(t) называется неслучайная функция Dx(t), значение которой для каждого t равно дисперсии соответствующего сечения случайной функции: Dx(t) = D[X(t)].
Дисперсия случайной функции при каждом t характеризует разброс (рассеяние) возможных реализаций (кривых) случайной функции относительно среднего, иными словами, «степень случайности» случайной функции.
Часто вместо дисперсии рассматривают среднее квадратическое отклонение случайной функции, которое определяют, по аналогии со средним квадратическим отклонением случайной величины.
Средним квадратическим отклонением случайной функции называют квадратный корень из дисперсии, причем Dx(t) есть неотрицательная функция:
.
Свойства дисперсии случайной функции
Используя свойства дисперсии случайной величины, можно легко получить свойства дисперсии случайной функции.
Свойство 1. Дисперсия неслучайной функции φ(t) равна нулю:
Свойство 2. Дисперсия суммы случайной функции X(t) и неслучайной функции φ(t) равна дисперсии случайной функции:
Свойство 3. Дисперсия произведения случайной функции X(t) на неслучайную функцию φ(t) равна произведению квадрата неслучайного множителя на дисперсию случайной функции:
Математическое ожидание и дисперсия представляют собой весьма важные характеристики случайной функции; однако, для описания основных особенностей случайной функции этих характеристик недостаточно. Поэтому вводят специальную характеристику – корреляционную функцию, которая характеризует степень зависимости между сечениями случайной функции, относящимися к различным t.
Рис.9
Пусть имеется случайная функция X(t); рассмотрим два ее сечения , относящихся к различным моментам времени t и t`, т.е. две случайные величины X(t) и X(t`). Очевидно, что при близких значениях t и t` величины X(t) и X(t`) связаны между собой: если величина X(t) приняла какое-то значение, то величина X(t`) с большой вероятностью примет значение, близкое к нему. Очевидно также, что при увеличении интервала между сечениями t и t` зависимость величин X(t) и X(t`) вообще должна убывать.
Степень зависимости величин X(t) и X(t`) может быть в значительной мере охарактеризована их корреляционным моментом; очевидно, он является функцией двух аргументов t и t`. Эта функция и называется корреляционной функцией.
Таким образом, корреляционной функцией случайной функции – X(t) называется неслучайная функция двух аргументов, которая при каждой паре значений равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайной функции:
.
Если t= t`, то корреляционная функция обращается в дисперсию случайной функции.
Таким образом, необходимость в дисперсии как отдельной характеристике случайной функции отпадает: в качестве основных характеристик случайной функции достаточно рассматривать ее математическое ожидание и корреляционную функцию.
Вместо корреляционной функции Kx(t,t`) можно пользоваться нормированной корреляционной функцией:
,
которая представляет собой коэффициент корреляции величин X(t) и X(t`).
При t= t` нормированная корреляционная функция равна единице.