Свойства математического ожидания
Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:
M(C)=C.
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
M(CX)=CM(X).
Свойство 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
M(XY)=M(X)M(Y).
Свойство 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:
M(X+Y)=M(X)+M(Y).
Кроме математического ожидания, на практике иногда применяются и другие характеристики положения, в частности мода и медиана случайной величины.
Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное значение. Для непрерывной величины модой является то значение, в котором плотность вероятности максимальна. Условимся обозначать моду буквой М.
рис.3
В общем случае мода и математическое ожидание случайной величины не совпадают. В частном случае, когда распределение является симметричным и модальным и существует математическое ожидание, то оно совпадает с модой и центром симметрии распределения.
Медианой случайной величины называется такое ее значение, для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше своего значения. Т.е. медианой случайной величины X называется такое ее значение Ме, для которого
P(X<Me) = P(X>Me).
Этой характеристикой пользуются обычно только для непрерывных случайных величин. Геометрическая медиана – это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам.
(рис.4)
И в случае симметричного модального распределения медиана совпадает с математическим ожиданием и модой.
Кроме характеристик положения – средних, типичных значений случайной величины, - употребляется еще ряд характеристик, каждая из которых описывает то или иное свойство распределения. В качестве таких характеристик чаще всего применяются так называемые моменты: начальные и центральные.
Начальным моментом s-го порядка прерывной случайной величины X называется сумма вида:
.
Для непрерывной случайной величины X начальным моментом s-го порядка называется интеграл
.
Пользуясь знаком математического ожидания, можно написать общее определение начального момента s-го порядка, справедливое как для прерывных, так и для непрерывных величин:
,
т.е. начальным моментом s-го порядка случайной величины X называется математическое ожидание s-ой степени этой случайной величины.
Перед тем как дать определение центрального момента, введем новое понятие «центрированной случайной величины».
Пусть имеется случайная величина X с математическим ожиданием mX. Центрированной случайной величиной, соответствующей величине X, называется отклонение случайной величины X от ее математического ожидания:
.
Центрирование случайной величины равносильно переносу начала координат в среднюю, «центральную» точку, абсцисса которой равна математическому ожиданию.
Моменты центрированной случайной величины носят название центральных моментов. Они аналогичны моментам относительно центра тяжести в механике.
Таким образом, центральным моментом порядка s случайной величины X называется математическое ожидание s-й степени соответствующей центрированной случайной величины:
.
Рассмотрим второй центральный момент, который называется дисперсией случайной величины. Но прежде чем перейти к определению и свойствам дисперсии, введем понятие отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием, т.е. X – M(X).
Дисперсией(рассеянием) случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
Дисперсия случайной величины есть характеристика рассеивания, разбросанности значений случайной величины около ее математического ожидания. С механической точки зрения, дисперсия представляет собой момент инерции заданного распределения масс относительно центра тяжести (математического ожидания).