Приклад 4.2.

Для випадкових дискретних сигналів, що існують лише на додатній вісі, тобто мають вигляд співвідношення (4.3) і (4.6) можна записати так:

і

Кореляційна функція відгуку ЛДС. Перейдемо тепер безпосередньо до розгляду кореляційної функції процесу на виході ЛДС. При цьому дисперсію зможемо знайти як частинний випадок кореляційної функції коли зсув між значеннями відгуку дорівнює нулеві.

Оскільки при знаходженні кореляційної функції випадкового процесу використовується процедура центрування останнього, то спершу розглянемо представлення центрованого процесу на виході ЛДС. Центрований дискретний процес на виході ЛДС позначимо так:

,

де . Тепер, використовуючи співвідношення (4.1) і (4.2), можемо записати

=

, (4.7)

,

де позначено центрований вхідний процес .

Отже при проходженні через ЛДС центрованого процесу на виході також отримаємо центрований випадковий процес. Іншими словами, якщо на вході ЛДС діє випадковий процес з нульовим математичним сподіванням, то і на виході отримаємо процес з нульовим математичним сподіванням.

Тоді, враховуючи означення, наведені в п. 2 і співвідношення (4.7), можемо записати для кореляційної функції відгуку ЛДС

.

Зазначимо тепер, що

є кореляційна функція процесу на вході ЛДС. Враховуючи це, остаточно отримаємо

, (4.8)

Таким чином, кореляційна функція процесу на виході ЛДС повністю визначається кореляційною функцією процесу на вході та імпульсною характеристикою системи.

Приклад 4.3.

Розглянемо тепер стаціонарну ЛДС. Тоді, оскільки для такої системи імпульсна характеристика не залежить від моменту подачі тестую чого одиничного імпульсу (див. п. 3), для кореляційної функції отримаємо

, (4.9)

Аналогічно, як і для математичного сподівання, з урахуванням умов фізичної можливості ЛДС в термінах імпульсної характеристики, нескінченні верхні межі підсумовування в правих частинах співвідношень (4.8) і (4.9) можуть бути замінені на поточні значення нормованих часових аргументів кореляційних функцій, тобто

, (4.10)

,

для нестаціонарних ЛДС, і

, (4.11)

,

для стаціонарних ЛДС.

Приклад 4.4.

Для дискретного випадкового сигналу, що починається у момент часу , тобто відмінний від нуля лише на додатній вісі, обчислення кореляційних функцій відгуків фізично існуючих ЛДС (нестаціонарних і стаціонарних відповідно) виконується за наступними виразами:

, (4.12)

,

і

, (4.13)

,

Нагадаємо тепер, що коли для кореляційної функції деякого дискретного процесу покласти , то отримуємо дисперсію цього процесу . Таким чином, використовуючи отримані вище вирази (4.8) – (4.13) для кореляційної функції, можемо записати співвідношення для дисперсії відгуку ЛДС. Так, для нестаціонарної ЛДС дисперсія процесу на виході

, (4.14)

Співвідношення (4.14) вказує на те, що значення дисперсії відгуку ЛДС у будь-який момент часу є зваженою сумою не лише значень дисперсії вхідного процесу , а і значень кореляційної функції впливу коли але . При цьому роль вагових коефіцієнтів відіграють відповідні значення імпульсної характеристики ЛДС.

Приклад 4.5.

У разі стаціонарності ЛДС співвідношення для дисперсії відгуку отримаємо із формули (4.9)

, (4.15)

З урахуванням умов фізичної можливості, тобто, коли ЛДС при формуванні сигналу на виході «враховує» лише нинішні та минулі значення вхідного процесу і «не враховує» майбутні значення, формули (4.14) і (4.15) запишуться відповідно так:

,

і

,

Приклад 4.6.

Ці ж формули для дискретного випадкового сигналу, що відмінний від нуля лише на додатній вісі набудуть такого вигляду:

,

для нестаціонарної ЛДС і

,

Приклад 4.7.

Взаємна кореляційна функція впливу і відгуку ЛДС. Знову розглянемо ЛДС (див. рис. 4.1). Використовуючи зображення центрованого відгуку системи , представленого правою частиною співвідношення (4.1), можемо записати для взаємної кореляційної функції вхідного процесу і процесу на виході ЛДС у такому вигляді:

.

Оскільки перший співмножник в квадратних дужках у правій частині не залежить від індексу підсумовування, то його можна внести під знак суми і записати

, (4.16)

Із отриманого співвідношення (4.16) випливає, що взаємна кореляційна функція двох процесів, вхідного і вихідного залежить лише від автокореляційної функції впливу і імпульсної характеристик ЛДС. Отже отримуємо, що вихідний процес в явному вигляді не входить у праву частину співвідношення (4.16) для визначення взаємної кореляційної функції. Таке положення обумовлено тим, що сам процес повністю визначається вхідним впливом і імпульсною характеристикою системи (див. формулу (4.1)).