4. Стохастичний опис та аналіз лдс при дії випадкових сигналів

В попередньому розділі ми розглянули різні методи опису ЛДС та аналізу дії на них дискретних детермінованих сигналів. Але в багатьох випадках розгляд роботи ЛДС у детермінованій постановці не достатній. Це в першу чергу стосується дослідження задач фільтрації корисних сигналів на фоні різного роду завад та шумів, аналіз впливу на якість обробки цифрових сигналів шумів квантування, побудова оптимальних та квазіоптимальних систем ЦОС, зокрема, адаптивних цифрових систем, та інш. В такого типу задачах слід розглядати дію на ЛДС випадкових сигналів.

Відмінність аналізу дії випадкових сигналів від детермінованих на систе6ми обробки інформації, в тому числі і на ЛДС, полягає в наступному. В детермінованій постановці відома реалізація вхідного сигналу і та чи інша характеристика системи (див. п. 3). Потрібно знайти реалізацію сигналу на виході. В стохастичній же постановці теж потрібно знати характеристики системи, але вхідний випадковий сигнал задається не реалізацією¹ (у більшості випадків таких реалізацій, в усякому разі теоретично, незліченна кількість), а своїми ймовірнісними характеристиками. Це можуть бути розподіли ймовірностей (функція розподілу або щільність розподілу ймовірностей, моментні функції (математичне сподівання, дисперсія, кореляційна функція), характеристичні функції, кумулянти і т.п. У цьому випадку на виході системи потрібно те ж знайти не реалізацію випадкового вихідного сигналу (за винятком ергодичних процесів вона є малоінформативною), а його ймовірнісні характеристики.

Отже, в цьому розділі розглянемо особливості визначення статистичних характеристик відгуків ЛДС при дії на вході дискретних випадкових сигналів різних видів (див. п.2). Оскільки для практики найбільш вагомими є спектрально-кореляційні характеристики випадкових сигналів, то саме їм буде приділена основна увага. Звичайно, повним розв’язком задачі стохастичного аналізу ЛДС є визначення хоча б одновимірного розподілу ймовірностей сигналу на виході. Але для багатьох типів випадкових процесів розв’язок задачі стохастичного аналізу у такому обсязі аналітичним шляхом є досить складним, або навіть неможливим. Стохастичний аналіз лінійних систем (в тому числі і ЛДС) в термінах розподілів ймовірностей можливий для гауссівських процесів і лінійних випадкових процесів.

Зауважимо також, що оскільки математичною моделлю випадкового сигналу є випадковий процес, то надалі в цьому розділі будемо говорити про випадкові процеси нам вході і виході ЛДС.

4.1. Кореляційний аналіз дії випадкового сигналу на лдс

Розглянемо деяку ЛДС (див. рис. 4.1), на вході якої діє дискретний випадковий процес , де - нормований відносно інтервалу дискретизації час. Відомі розподіли ймовірностей вхідного процесу та імпульсна характеристика

Рис. 4.1. Лінійна дискретна система

ЛДС. Потрібно знайти моментні функції (математичне сподівання, дисперсію, кореляційну функцію) процесу на виході . Таке дослідження процесу на виході ЛДС називають аналізом в рамках кореляційної теорії.

Математичне сподівання відгуку. Спочатку розглянемо знаходження математичного сподівання процесу на виході ЛДС. Скориставшись результатами підрозділу 3.2, формально можемо записати для відгуку ЛДС

. (4.1)

Візьмемо тепер математичне сподівання лівої і правої частин співвідношення (4.1). Маємо

.

Враховуючи властивості математичного сподівання, зокрема, його адитивність, можемо поміняти місцями знак суми і математичного сподівання. Тоді

.

Введемо позначення для математичних сподівань: і . Тепер остаточно запишемо

(4.2)

Отже, згідно зі співвідношенням (4.2), математичне сподівання відгуку ЛДС у певний момент часу дорівнює зваженій сумі значень математичного сподівання вхідного процесу . Роль вагових коефіцієнтів відіграють відповідні значення імпульсної характеристики ЛДС.

Зазначимо, що згідно з умовою фізичної можливості (див. п. 3.2) коли . Тому в (4.2) всі доданки з дорівнюють нулеві, тобто можна записати

(4.3)

Приклад 4.1. На нерекурсивну ЛДС з імпульсною характеристикою

діє дискретній випадковий сигнал математичне сподівання якого , де - дискретний одиничний стрибок (див. формулу (3.11)). Знайти математичне сподівання , де - процес на виході ЛДС.

Згідно з умовою задачі та формулою (4.3) можемо записати

Якщо ЛДС є стаціонарною, тобто коефіцієнти різницевого рівняння не залежать від часу, то її імпульсна характеристика залежить лише від одного дискретного часового аргументу (див. рис. 4.2) і тоді співвідношення (4.1) запишеться у такому вигляді:

. (4.4)

Тоді, розмірковуючи аналогічно, для математичного сподівання запишемо

(4.5)

Таким чином, для стаціонарної ЛДС математичне сподівання відгуку на її виході при дії на вході випадкового процесу представляє собою дискретну згортку імпульсної характеристики системи і математичного сподівання впливу.

Рис. 4.2. Стаціонарна лінійна дискретна система

Для фізично існуючих стаціонарних ЛДС імпульсна характеристика коли , тому (4.5) можна записати так:

(4.6)