3. Лінійні дискретні системи

Лінійні системи займають значне місце в системах обробки інформаційних сигналів. Як правило це різного роду фільтри. В системах ЦОС широке застосування знаходять цифрові фільтри.

Строго кажучи, всі реальні системи є в тій чи іншій мірі нелінійними. Але в певному динамічному діапазоні¹ деякі системи з незначною нелінійністю можна віднести до класу лінійних. Це, по-перше, значно спрощує процедуру аналізу та синтезу систем. По-друге, для лінійних систем розроблені ефективні загальні методи їх опису, моделювання та аналізу.

В розділі розглядається означення лінійних дискретних систем, їх класифікація, алгоритм роботи. Висвітлені питання опису лінійних дискретних систем (ЛДС) у часовій, частотній та -області. При цьому, в залежності від способу опису ЛДС, розглядаються різні види їх характеристик. Наприкінці розділу зупинимось на описі ЛДС у просторі станів.

3.1. Означення лінійної дискретної системи

Поняття системи досить широко використовується як в повсякденному житті, так і в науці і техніці. З цієї точки зору, в найбільш загальному розумінні, системою називають будь-яку сукупність предметів будь-якої природи, що взаємодіють між собою. При цьому системи можуть бути розбиті на підсистеми, які самі є системами.

Прикладами систем можуть бути, наприклад, галактика, або, як її частина (підсистема) – сонячна система, планета Земля, галузь народного господарства, завод, літальний апарат, обчислювальна машина, комп’ютеризована електронна система управління станком, автомобіль і т. д.

В рамках цієї книги нас цікавлять специфічні електронні системи, які пов’язані з обробкою сигналів електричної природи. Сукупність взаємопов’язаних електронних елементів та пристроїв, що забезпечують виконання задач, пов’язаних з певним ціленаправленим перетворенням інформаційних сигналів електричної природи, будемо називати системою обробки сигналів.

Для того, щоб можна було застосовувати при вивченні систем обробки інформації математичні методи, потрібно мати її математичну модель. З цією метою перш за все зазначимо, що будь-яку систему обробки сигналів умовно будемо зображати у вигляді прямокутника (рис. 3.1). Зліва прямокутника стрілка вказує на вхід

Рис. 3.1. Умовне зображення системи обробки інформації

системи. позначає вхідний сигнал системи або зовнішній вплив і представляє собою дію на систему як зовнішнього середовища, так і інших систем. Стрілка справа вказує вихід системи, а представляє собою реакцію системи, відгук або вихідний сигнал. Всередині прямокутника вказують характеристики системи, які, як правило, дозволяють встановити зв’язок між вхідним і вихідним сигналами. Таке умовне зображення системи обробки сигналів використовується у тому випадку, коли виконується аналіз системи, тобто знаходження вихідного сигналу при відомих вхідному сигналові і характеристиках системи. При цьому внутрішня структури системи та її побудова не розглядається.

Для кожного виду системи є характерними певний вид вхідних і вихідних сигналів. Позначимо простір² допустимих для системи вхідних сигналів як , а простір вихідних сигналів - . В цьому випадку кажуть, що система обробки сигналів однозначно перетворює вхідний сигнал в реакцію , тобто, встановлює взаємно однозначну відповідність між елементами вхідного і вихідного просторів сигналів. Як відомо, в математиці така взаємно однозначна відповідність між просторами функцій носить назву оператора. Будемо позначати такий оператор як , де точка умовно позначає деяку функцію. Тоді для системи, зображеної на рис. 3.1 можемо записати таке співвідношення між входом і виходом

.

В деяких випадках при описові систем обробки сигналів окрім вхідних і вихідних сигналів та оператора потрібно вказувати ще величини, які характеризують взаємодію різних частин системи один на одного, тобто внутрішню взаємодію. Кажуть, що ці величини характеризують положення (стан) системи в різні моменти часу в процесі перетворення вхідного сигналу в реакцію . Такі величини називають змінними стану системи. В кожен момент часу змінні стану представляють собою певний вектор, а множину всіх можливих векторів змінних стану називають простором станів системи.

Вхідні і вихідні сигнали системи та вектор станів залежать від часу, тому кажуть, що вони характеризують функціонування або поведінку системи у часі.

Тепер можна дати таке означення. Математичною моделлю системи обробки сигналів називають сукупність чотирьох елементів: простір вхідних впливів , простір вихідних реакцій , простір станів і оператор . В залежності від виду чи властивостей вказаних елементів виконується класифікація систем обробки інформації.

1. Детерміновані та стохастичні системи.

Система називається детермінованою, якщо вона співвідносить кожній конкретній реалізації вхідного сигналу одну і лише одну конкретну реалізацію вихідного сигналу. Іншими словами, якщо для детермінованої системи відома реалізація вхідного сигналу, то це однозначно визначає вид реалізації вихідного сигналу.

Система називається стохастичною, якщо вона кожній конкретній реалізації вхідного сигналу співвідносить одну реалізацію у відповідності з певним ймовірнісним розподілом вихідного сигналу.

2. Лінійні і нелінійні системи.

Розглянемо деякий оператором , який задовольняє наступним умовам:

- адитивності, тобто при будь-якому цілому додатному і будь-яких функціях часу з обмежено. енергією

; (3.1)

- однорідності, тобто при довільному числі і будь якій функції часу з обмеженою енергією

. (3.2)

Такий оператор називають лінійним. В свою чергу, якщо система описується лінійним оператором , то вона теж носить назву лінійної. Визначаючі для лінійного оператора співвідношення (3.1) і (3.2) можна об’єднати в одне, а саме

, (3.3)

яке отримало назву принципу суперпозиції. Тоді лінійну систему можна означити як систему, що задовольняє принципу суперпозиції.

Система називається нелінійною, якщо для неї не виконується принцип суперпозиції (3.3), або виконується лише при окремих певних значеннях , і конкретних .

3. Стаціонарні і нестаціонарні системи.

Система називається стаціонарною, якщо при будь-якому зсуві вхідного сигналу у часі на інтервал без зміни його форми, вихідна реакція системи теж зсувається у часі на такий же інтервал без зміни форми. Іншими словами, якщо для системи, що описується оператором , виконуються співвідношення

і , (3.4)

то така система називається стаціонарною. Прикладом стаціонарної системи може бути електронна система , параметри елементів якої не змінюються у часі.

Якщо співвідношення (3.4) не виконуються, то така система називається нестаціонарною.

4. Інерційні і безінерційні системи.

Система називається безінерційною, якщо значення її вихідного сигналу в будь-який фіксований момент часу визначається лише значенням вхідного сигналу в той же момент часу і не залежить від минулих значень вхідного сигналу. Іншими словами, для безінерційної системи будь які зміни вхідного сигналу миттєво передаються у відповідні зміни вихідного сигналу. Зв’язок між вхідним впливом і вихідною реакцією для безінерційної системи описується простою функціональною залежністю

.

Система називається інерційною, якщо значення її вихідного сигналу в будь-який фіксований момент часу визначається не лише значенням вхідного сигналу в той же момент часу , а і певними минулими значеннями вхідного сигналу . Кажуть, що система має «пам’ять» про минулі значення вхідного сигналу. Величина «пам’яті» визначається часовим інтервалом . Чим більше значення , тим біль інерційною є система. В теоретичному плані може прямувати і до нескінченності.

5. Неперервні і дискретні системи.

Цей вид класифікації залежить від виду допустимих вхідних і вихідних сигналів. Якщо на вході системи діють неперервні сигнали, тобто сигнали, визначені у будь-який момент часу, починаючи з деякого початкового моменту (для реальних систем, як правило, це може бути момент часу ), то вона називається неперервною або аналогово.

Якщо вхідний і вихідний сигнали системи існують лише в певні фіксовані моменти часу, то така система називається дискретною. Саме такі системи і будуть розглядатися в подальшому.

Наведена вище класифікація систем визначалась в основному властивостями та видом оператора , яким описується математична модель системи. Можна класифікувати системи і за видом диференціального рівняння, що описує математичну модель системи. Справа в тому, що математичній моделі будь-якої системи обробки сигналів, на вході якої діє сигнал , а на виході маємо відгук , може бути поставлено у відповідність певне диференційне рівняння, яке має такий загальний вигляд:

(3.5)

де і - коефіцієнти диференційного рівняння.

Якщо в диференціальному рівнянні всі його коефіцієнти є деякі числа, то система, яка описується таким рівнянням, називається лінійною стаціонарною системою.

Якщо хоча б один із коефіцієнтів в рівнянні (3.5) залежить від часу, то система, яка описується таким рівнянням, називається лінійною нестаціонарною системою або параметричною системою.

Як для лінійних стаціонарних, так і для параметричних систем виконується принцип суперпозиції.

У тому випадку, коли хоча б один із коефіцієнтів диференційного рівняння залежить від вхідного сигналу, то система, яка описується таким рівнянням, називається нелінійною системою. В свою чергу нелінійні системи можна розділити на інерційні і без інерційні за видом залежності коефіцієнтів диференційного рівняння (3.5) від вхідного сигналу. Якщо система описується диференціальним рівнянням, коефіцієнти якого залежать від миттєвого значення вхідного сигналу, то така система називається інерційною нелінійною. Якщо ж система описується диференціальним рівнянням, коефіцієнти якого залежать від деякого параметра вхідного сигналу, наприклад, від його середнього значення, то така система називається безінерційною нелінійною.

Таку ж класифікація можна отримати і для дискретних систем. Але оскільки для останніх вхідні і вихідні сигнали є дискретними, які задані лише в окремі фіксовані моменти часу, то їх опис здійснюється на основі скінченно-різницевих виразів. У загальному випадку для дискретної системи, на основі скінченно-різницевих виразів, отримуємо різницеве рівняння такого вигляду:

(3.6)

де позначено - різниця назад [6] (або зростаюча різниця [7]) першого порядку,

- різниця назад другого порядку і т. д. У загальному випадку зростаюча різниця порядку

, (3.6А)

В (3.6) приріст дискретного аргумента .

В залежності від виду коефіцієнтів різницевого рівняння (3.6), дискретні системи можуть бути лінійними, нелінійними, параметричними, інерційними або неінерційними точно таким же чином, як і для аналогових систем.