1.6 Взаимное положение плоскостей в проекциях с числовыми отметками

Параллельные плоскости

Если плоскости параллельны, то параллельны их масштабы уклонов (_i//P_i), равны интервалы (_=_p) и отметки возрастают в одну сторону (рисунок 1.20).

Рисунок 1.20

Признаком параллельности плоскостей является также равенство их углов простирания и уклонов (углов падения) (рисунок 1.21).

а)

б)

Рисунок 1.21

Пересекающиеся плоскости

Если хотя бы один их признаков параллельности плоскостей отсутствует, то плоскости пересекаются. Рассмотрим определение линии пересечения плоскостей, заданных масштабами уклонов. Если пересекающиеся плоскости имеют одинаковые масштабы уклонов (рисунок 1.22), то проекция линии пересечения плоскостей представляет собой биссектрису угла, образованного горизонталями плоскостей. Из рисунка 1.22 видно, что треугольники ABC и ACD– прямоугольные и они равны, так как имеют общую гипотенузу АС и равные катеты, значит равны их углы: =₁.

Рисунок 1.22

В случае когда масштабы уклонов пересекающихся плоскостей параллельны, но интервалы не равны (рисунок 1.23), то плоскости пересекаются по общей горизонтали, для нахождения которой достаточно построить одну точку, принадлежащую ей. Для решения можно использовать произвольную секущую (вспомогательную) плоскость Q или соединить прямыми две пары точек с одинаковыми отметками (К). Точки М и К принадлежат линии пересечения плоскостей _i и P_i.

Рисунок 1.23

1.7 Прямая и плоскость в проекциях с числовыми отметками

Прямая принадлежит плоскости, если у них имеются две общие точки с одинаковыми отметками. В другом случае прямая пересекает плоскость или параллельна плоскости.

Определение точки пересечения прямой и плоскости сводится к решению задачи об относительном положении двух прямых, заданной и вспомогательной – линии пересечения двух плоскостей (рисунок 1.24). Построение точки пересечения прямой с плоскостью в проекциях с числовыми отметками основано на использовании метода вспомогательных секущих плоскостей. Рекомендуется применять любую плоскость общего положения, но только не проецирующую, так как горизонтально-проецирующая плоскость не может привести к цели потому, что на чертеже проекции заданной прямой и вспомогательной плоскости совпадут, и определение точки пересечения потребует дополнительного построения.

Рисунок 1.24

На рисунке 1.25 вспомогательная плоскость определена данной прямой АВ и горизонталью ВС, направление которой выбрано с таким расчётом, чтобы в пределах чертежа получить нужную для построения точку N. Вторая точка М определена пересечением горизонтали с отметкой 2, причём АМ//СВ. Точка, в которой АВ пересекается с СМ, является проекцией точки пересечения прямой АВ с плоскостью Θ_i. Высотная отметка точки К определяется, если через неё провести горизонталь по плоскости Θ_iили же проградуировать прямую, и по углу падения, используя линейный или численный масштаб, определяют отметку точки К, как показано на рисунке 1.25.

Рисунок 1.25

Прямая, перпендикулярная к плоскости

Если прямая перпендикулярна к плоскости, то её проекция параллельна масштабу уклона плоскости или перпендикулярна горизонталям плоскости. Интервал, прямой по величине, обратен интервалу плоскости. Уклон прямой обратен уклону плоскости (рисунок 1.26, а, б) =1/L_.Интервал прямой при известном интервале плоскости устанавливается также графически. Для этого строится вспомогательный прямоугольный (рисунок 1.26) треугольник, где высота треугольника равна единице высоты, взятой по линейному масштабу чертежа (или любому другому масштабу, заданному на чертеже). Основание треугольника делится данной высотой на две части. Одна часть равна интервалу плоскости L_, вторая часть равна интервалу прямой, перпендикулярной к плоскости .

а)

Рисунок 1.26

б)

в)

Рисунок 1.26 – Продолжение

Задача: По рисунку 1.26,в определить угол падения плоскости , построить перпендикуляр на плоскость  из точкиА, определить точку пересечения перпендикуляра с плоскостью и расстояние от точки А до плоскости.

Решение: Параллельно масштабу уклона заданной плоскости проводим ось x (наиболее удобно провести ось через точку А и на уровне отметки 8 – x₈). Из двух нетождественных высотных отметок (М₈и N₁₃) плоскости, взятых на масштабе уклона, восставим перпендикуляры за вычетом высоты, равной отметке 8, так как ось x взята на данной высоте. Из точки N восставим перпендикуляр, равный 13-8=5 единицам, а из точки М – 8-8=0 единиц. Через полученные точки проводим прямую _i' и определяем угол падения . Из точки А₁₂ восставим перпендикуляр, равный 12-8=4 единицам, и из полученной точки А₁₂'опускаем перпендикуляр на прямую _i' (след плоскости _i ). Отрезок А₁₂'K'соответствует в масштабе чертежа расстоянию от точки А до плоскости _i в пространстве.

Опустив из точки К' перпендикуляр на ось x, получим горизонтальную проекцию точки пересечения перпендикуляра с плоскостью . В масштабе чертежа определяют высотную отметку точки К (К_11,6).

Проведение прямой заданного уклона через точку,

лежащую в плоскости

Через точку А, лежащую в плоскости Р, провести прямую заданного уклона i (рисунок 1.27,а,б).

Уклон прямой, лежащей в плоскости, может быть меньше или равен уклону плоскости, если прямая параллельна линии ската. Если прямой круговой конус, с образующими заданного уклона прямой, пересечь плоскостью, проходящей через его вершину, то в сечении получаем искомые прямые. Если высоту конуса принять равной единице, то радиус его основания равен интервалу заданной прямой. По уклону прямой определяем величину интервала: =1/i.

На основании изложенного, из точки А радиусом, равным интервалу, проводим окружность и отмечаем точки пересечения ее с соседними горизонталями. Прямые MN и CD лежат в плоскости и имеют заданный уклон.

а)

б)

Рисунок 1.27

Построение плоскости заданного уклона через

произвольную прямую

Через произвольную прямую АВ провести плоскость Р заданного уклона i (рисунок 1.28,а,б). Искомая плоскость является касательной плоскостью к поверхности прямого кругового конуса, образующие которого имеют уклон, равный заданному уклону плоскости. Параллели конуса – окружности, их радиусы отличаются на величину интервала плоскости. Если высота конуса равна 1, то радиус основания R равен интервалу плоскости.

а)

б)

Рисунок 1.28

Построения на эпюре выполняются в следующем порядке (рисунок 1.28,б): из произвольной точки прямой с целой отметкой (точка В) радиусом, равным величине интервала плоскости, проводим окружность. Касательные к окружности, проведённые из ближайшей точки деления прямой, определяют направление горизонталей плоскости. Задача имеет два решения.