Погрешности косвенных измерений

Теперь необходимо рассмотреть вопрос о том, как находить погрешность физической величины  , которая определяется путем косвенных измерений. Общий вид уравнения измерения Y=f(Х₁, Х₂, … , Х_n), где Х_j – различные физические величины, которые получены экспериментатором путем прямых измерений, или физические константы, известные с заданной точностью. В формуле они являются аргументами функции. В практике измерений широко используют два способа расчета погрешности косвенных измерений. Оба способа дают практически одинаковый результат.

Способ 1

Сначала находится абсолютная , а затем относительная  погрешности. Этот способ рекомендуется для таких уравнений измерения, которые содержат суммы и разности аргументов. Общая формула для расчета абсолютной погрешности при косвенных измерениях физической величины Y для произвольного вида f функции имеет вид:

Для нахождения относительной погрешности нужно прежде всего найти среднее значение величины Y. Для этого в уравнение измерения надо подставить средние арифметические значения величин X_j. То есть среднее значение величины Y равно:

Пример: Найдем погрешность измерения объёма V цилиндра. Высоту h и диаметр D цилиндра считаем определёнными путём прямых измерений, причём пусть количество измерений n=10 . Формула для расчета объёма цилиндра, то есть уравнение измерения, имеет вид:

Тогда, после подстановки средних значений, найдём:

Погрешность _V в данном примере зависит, как видно, в основном от погрешности измерения диаметра.

Способ 2

Этот способ определения погрешности косвенных измерений отличается от первого способа меньшими математическими трудностями, поэтому его чаще используют. В начале находят относительную погрешность  , и только затем абсолютную  . Особенно удобен этот способ, если уравнение измерения содержит только произведения и отношения аргументов. Порядок действий можно рассмотреть на том же конкретном примере – определение погрешности при измерении объёма цилиндра:

Все численные значения входящих в формулу величин сохраним теми же, что и при расчетах по способу 1.

При использовании способа 2 следует действовать так:

прологарифмировать уравнение измерения (логарифм берём натуральный):

заменить дифференциал каждой величины на абсолютную погрешность этой же величины, а знаки “минус”, если они есть перед погрешностями, на “плюс”:

Казалось бы, что с помощью этой формулы уже можно дать оценку для относительной погрешности , однако это не так. Требуется так оценить погрешность , чтобы доверительная вероятность этой оценки совпадала с доверительными вероятностями оценки погрешностей тех членов, которые стоят в правой части формулы. Для этого, чтобы это условие выполнялось, нужно все члены последней формулы возвести в квадрат: