4.5. Метод Ньютона (метод касательных)

Выберем за начальное значение x₀ тот конец отрезка, для которого знак функции f(x) совпадает со знаком ее второй производной f"(x). Положим для определенности, что f"(x)>0 при a  x  b и f(b)>0. Выберем, например, x₀=b, для которого f(x₀) f"(x₀ )>0. Проведем касательную к кривой y=f(x) в точке B₀ [x₀, f(x₀)]. В качестве первого приближения x₁ корня  возьмем абсциссу точки пересечения этой касательной с осью Ox (рис. 4.7) и т. д.

Приведем итерационные формулы метода Ньютона:

x_n₊₁= x_n- (n=0, 1, 2,…), x₀=b.

Заметим, что если положить x₀=a и, следовательно, f(x₀) f"(x₀)<0, то, проведя касательную к кривой y=f(x) в точке A[a, f(a)], мы получили бы точку , лежащую вне отрезка [a, b] (см. рис. 4.7).

Метод имеет квадратичную сходимость, то есть погрешность на (n+1) -й итерации пропорциональна квадрату погрешности на n -й итерации. Метод второго порядка точности.

Для оценки погрешности n-го приближения можно воспользоваться формулой:

| x_n- |  или | x_n- |  (x_n- x_n-1)²,

где m₁= min | f'(x)| , M₂ =max| f"(x)| для всех x [a, b].

Если f"(x) не задан, то начальное приближение можно искать по формулам:

с=a -

4.6. Метод Ньютона модифицированный

Если производная f'(x) мало изменяется на отрезке [a, b], то в итерационной формуле Ньютона можно положить f'(x_n) f'(x₀ ). Отсюда, для корня  уравнения f(x)=0 получаем последовательные приближения

x_n₊₁= x_n- (n=0, 1, 2,…).

Геометрически этот способ означает, что мы заменяем касательные в точках B_n [x_n, f(x_n )] прямыми, параллельными касательной к кривой y=f(x), в ее фиксированной точке B₀ [x₀, f(x₀ )] (рис. 4.8).