3.4. Квадратурная формула Гаусса

В формулах Гаусса

коэффициенты A_i абсциссы t_i подбираются так, чтобы формула была точной для всех многочленов наивысшей возможной степени 2n-1 (табл. 3.1).

При вычислении интеграла следует сделать замену

x_i= .

Тогда формула Гаусса будет иметь вид

= ,

где .

Таблица 3. 1

N	ti	Ai	Rn
4	-t1=t4=0,86113631 -t2=t3=0,33998104	A1=A4=0,34785484 A2=A3=0,65214516	R42,88*10-7f(8)(ξ), -1< ξ<1
5	-t1=t5=0,90617985 -t2=t4=0,53846931 t3=0	A1=A5=0,23692688 A2=A4=0,47862868 A3=0,56888889	R50,08*10-8f(10)(ξ), -1< ξ<1
7	-t1=t7=0,94910791 -t2=t6=0,74153119 -t3=t5=0,40584515 t4=0	A1=A7=0,12948496 A2=A6=0,27970540 A3=A5=0,38183006 A4=0,41795918	R72,17*10-15f(14)(ξ), -1< ξ<1

Задания

1. Вычислить приближенное значение интеграла , используя формулы трапеции, Симпсона, трех-восьмых, прямоугольников и Гаусса (n=4, 5 или 7). Оценить остаточный член формул.

2. Вычислить значение интеграла с заданной точностью , используя формулу трапеции или Симпсона, двумя способами:

- выбрать шаг интегрирования из оценки остаточного члена,

- использовать метод последовательного удвоения числа шагов.

3. Вычислить значение интеграла с заданной точностью , если функция f(x) имеет разрыв второго рода.

4. Вычислить значение интеграла , заменив функцию f(x) кубическим сплайном.

5. Вычислить двойной интеграл .

Варианты

Для заданий 1,2,4:

1. f(x)=x³ e^2x ; a=0 ; b=1.

2. f(x)= ; a=0 ; b=4.

3. f(x)= ; a= -2 ; b= -1.

4. f(x)= ; a=0 ; b=1.

5. f(x)= ; a=0 ; b=1.

6. f(x)= ; a=1 ; b=3.

7. f(x)= ; a=1 ; b=2.

8. f(x)= ; a=0,5 ; b=2,5.

9. f(x)= ; a=5 ; b=7.

10. f(x)= ; a=0 ; b=5.

11. f(x)=cos(x)/(x+2) ; a=0,4 ; b=1,2.

12. f(x)= ; a=0,4 ; b=1.2.

13. f(x)=(x+1)sin(x) ; a=1,6 ; b=2.4.

14. f(x)=(x+1)cos(x²) ; a=0,2 ; b=1.

15. f(x)=sin(x²-0,4)/(x+2) ; a=0,8 ; b=1,2.

16. f(x)=ln(1+x²)/(1+x²) ; a=0; b=1.

17. f(x)=ln(5+4cos(x)) ; a=0; b=3,1416.

18. f(x)=x*ln(1+x); a=0; b=1.

Для задания 3:

1. f(x)= ; a= 0; b= 0,5.

2. f(x)= ; a= 0; b= 1.

3. f(x)= ; a= 0; b= 1.

4. f(x)= ; a= 0; b= 2.

5. f(x)= ; a= 0; b= 1.

6. f(x)= ; a= 1; b= 2.

7. f(x)= ; a= -1; b= 1.

8. f(x)= ; a= -1; b= 1.

9. f(x)= ; a= -1; b= 1.

10. f(x)= ; a= 0; b= 1.

Для задания 5:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. правильный шестиугольник, вписанный в единичный круг.

8. .

9. .

10. ромб с центром в начале координат и с вершинами в точках (0, -4); (0, 4); (-2, 0); (2, 0).

Тема 4. Решение трансцендентных (нелинейных) уравнений

Пусть задана функция f(x) действительного переменного. Требуется найти корни уравнения

f(x)=0. (4.1)

Задача нахождения корней уравнения (4.1) обычно решается в два этапа. На первом этапе изучается расположение корней и проводится их разделение, то есть выделяются области, содержащие только один корень. На втором этапе, используя начальное приближение, строится итерационный процесс для уточнений корня.