- •Гоу впо «Кемеровский государственный университет»
- •Методы вычислений
- •Предисловие
- •Тема 1. Элементы теории погрешностей
- •1.1. Определения
- •1.2. Абсолютная и относительная погрешности
- •1.3. Значащие цифры и число верных знаков
- •1.4. Погрешности арифметических действий
- •1.5. Погрешность вычисления функции
- •Задания
- •Варианты
- •Тема 2. Интерполирование
- •2.1. Постановка задачи интерполирования
- •2.2. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •2.3. Интерполяционная формула Гаусса
- •2.4. Сплайн- интерполяция
- •2.5. Линейный сплайн
- •Таким образом, линейный сплайн имеет вид
- •2.6. Параболический сплайн
- •2.7. Кубический сплайн
- •Задания
- •Варианты функций
- •Тема 3. Численное интегрирование
- •3.1. Постановка задачи интегрирования
- •3.2. Квадратурные формулы
- •3.3. Выбор шага интегрирования
- •3.4. Квадратурная формула Гаусса
- •Тогда формула Гаусса будет иметь вид
- •Задания
- •Варианты
- •Тема 4. Решение трансцендентных (нелинейных) уравнений
- •4.1. Отделение корней
- •4.2. Метод последовательных приближений (метод простой итерации)
- •4.3. Метод половинного деления (метод проб, метод дихотомии)
- •4.4. Метод пропорционального деления (метод хорд)
- •4.5. Метод Ньютона (метод касательных)
- •4.6. Метод Ньютона модифицированный
- •4.7. Метод Чебышева
- •Задания
- •Варианты уравнений
- •Тема 5. Решение спектральной задачи
- •5.1. Метод скалярных произведений
- •5.2. Метод вращения
- •Задания
- •Варианты матриц
- •Тема 6. Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •6.1. Обусловленность матрицы
- •6.2. Метод Гаусса
- •6.3. Метод Гаусса с выбором главного элемента
- •6.4. Нахождение определителя и обращение матрицы с помощью метода Гаусса
- •6.5. Итерационные методы (метод Якоби, метод Зейделя, метод релаксации)
- •6.6. Оптимизация скорости сходимости итерационного процесса
- •6.7. Итерационные методы вариационного типа
- •6.8. Методы сопряженных направлений
- •Задания
- •Тема 7. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений
- •7.1. Определения
- •Интеграл в правой части (8.4) вычисляется с помощью численной квадратуры
- •8.2. Метод Эйлера
- •8.3. Методы Рунге-Кутта
- •8.4. Метод Адамса
- •8.5. Метод Милна
- •Задания
- •Варианты
- •8.6. Краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка
- •8.6.1. Интегро-интерполяционный метод
- •8.6.2. Метод прогонки
- •Задания
- •Варианты заданий
- •Тема 9. Методы решения дифференциальных уравнений в частных производных
- •9.1. Простейшие приемы построения разностных схем
- •9.2. Сходимость, аппроксимация, устойчивость разностных схем
- •9.3. Решение уравнения параболического типа
- •9.3.1. Явная разностная схема
- •9.3.2. Неявная разностная схема
- •9.3.3. Реализация метода разностной прогонки для уравнения параболического типа
- •Задание
- •Варианты
- •9.4. Решение уравнения эллиптического типа
- •9.4.1. Метод матричной прогонки
- •Задание:
- •Варианты
- •Содержание
- •Тема 7. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений 40
- •Тема 8. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений 43
- •Тема 9. Методы решения дифференциальных уравнений в частных производных 49
9.2. Сходимость, аппроксимация, устойчивость разностных схем
Рассмотрим дифференциальное уравнение, заданное в некоторой области D, ограниченной контуром Г:
LU = f , (9.2)
где U - решение (9.2). Множество Dh ={Mh} состоящее из изолированных точек Mh , принадлежащих замкнутой области D, называется сеткой, а точки Mh - узлами сетки. Функция, определенная в узлах сетки, называется сеточной функцией Uh. На практике, как правило, можно вычислить только приближенное сеточное значение функции U(h).
Для нахождения U(h) строим систему численных уравнений:
Lh(U(h)) = f(h) , (9.3)
где Lh – разностный оператор, соответствующий оператору L, f(h) – разностный аналог правой части.Уравнение (9.3) является разностной схемой.
Таким образом, в методе сеток происходит замена пространства V (пространства непрерывных в D функций U) на пространство Vh (пространство, образованное совокупностью сеточных функций Uh , определенных на Dh.). В линейных пространствах Vh и Fh введем нормы и , которые являются сеточными аналогами норм в пространстве V и F.
Определение. Говорят, что разностная схема (9.3) является сходящейся, если при h 0 выполняется условие
. (9.4)
Если выполнено условие (с=const, s>0), то говорят, что имеет место сходимость со скоростью порядка s.
Определение. Говорят, что разностная схема (9.3) аппроксимирует задачу (9.2) на решение U , если
Lh(Uh ) = f(h)+ f(h) (9.5)
при h 0,
величина f(h) называется погрешностью аппроксимации.
Если (M=const, β >0), то говорят, что разностная схема (9.3) аппроксимирует задачу (9.2) с погрешностью порядка β относительно h.
Определение. Разностная схема (9.3) называется устойчивой, если существует такое h0>0, что для всех h<h0 и любых f(h)Fh выполняются условия:
1) разностная схема (9.3) имеет единственное решение;
2) , где M – постоянная, не зависящая от h и f(h).
Теорема. Пусть разностная схема Lh(U(h)) = f(h) аппроксимирует задачу LU = f на решение U с порядком s>0 относительно h и устойчива. Тогда эта схема будет сходящейся и порядок ее сходимости будет совпадать с порядком аппроксимации, т. е. будет справедлива оценка :
, (9.6)
где с – постоянная, не зависящая от h.
9.3. Решение уравнения параболического типа
Рассмотрим смешанную задачу для уравнения теплопроводности в одномерном пространстве. Необходимо определить функцию U(x,t), которая в области G = {0 x 1, 0 < t T } удовлетворяет уравнению
, (9.7)
начальным условиям (при t=0 )
U(x,0)= (x), 0 x 1,
и на границе области G при x = 0 и x = 1 граничным условиям I рода:
U(0,t)=1(t),
U(1,t)=2(t), 0 t T.
Будем считать, что задача имеет единственное решение, и это решение непрерывно в области G вместе со своими производными
. В области G построим равномерную сетку по правилу:
xm=m h, m = 0,1,…,M, h = 1/M>0, h – шаг по пространству,
tn=n , n = 0,1,…,N, >0, N T < (N+1) , - шаг по времени.
Конфигурацию узлов, используемую для составления разностной схемы, называют шаблоном. Наиболее употребительны для уравнений параболического типа шаблоны:
(m,n+1)
- явный двухслойный шаблон;
(m-1,n) (m,n) (m+1,n)
(m-1,n) (m,n+1) (m+1,n+1) -неявный двухслойный шаблон
(m,n)
(m,n+1)
- явный трехслойный шаблон (в настоящее
(
(m,n)
ему разностная схема неустойчива);
(m,n-1)