2.7. Кубический сплайн

Построим на отрезке [a,b] функцию S_i(x) так, чтобы на каждом отрезке

[x _i-1 , x _i ] (i=1,...,n) функция S_i(x) представляла собой полином третьей степени

S_i(x)=a_i+ b_i (x_i-x) + c_i(x_i-x)²+ d_i(x_i-x)³

и в узлах x_i имела первую и вторую непрерывные производные:

(x)= -b_i -c_i(x_i-x) - d_i(x_i-x)²,

(x)=c_i+d_i(x_i-x),

(a) = =0.

Используя условие интерполирования и непрерывности, имеем:

S_i(x_i)= f(x_i),

S_i(x_i)= S_i+1(x_i),

(x_i)= (x_i),

(x_i)= (x_i),

далее, обозначив y_i=f(x_i) и h_i+1=x_i+1-x_i, получим, что

a_i=y_i, (2.1)

a_i=a_i+1+b_i+1h_i+1+ c_i+1 + d_i+1 , (2.2)

b_i=b_i+1+c_i+1h_i+1 + d_i+1 , (2.3)

c_i=c_i+1+d_i+1h_i+1. (2.4)

Из (2.4) следует:

d_i+1= (i=0,1,..n-1). (2.5)

Подставим (2.5) в (2.2) и выразим b_i+1:

b_i+1= (i=0,1,…n-1). (2.6)

Подставим (2.6) и (2.5) в (2.3) и получим систему из (n-1) трехточечного уравнения относительно переменной c:

α_i c_i-1 +β_i c_i+ γ_i c_i+1 = φ_i , (i=1,…,n-1), (2.7)

где

α_i = h_i,

β_i = 2(h_i+1+h_i),

γ_i = h_i+1,

φ_i = 6 .

Уравнение (2.7) при краевых условиях ( (a) = =0) c₀=0, c_n=0 решается методом прогонки:

c_i = p_i+1 c_i+1 + q_i+1 (i=n-1,…,1). (2.8)

Запишем формулу (2.8) для c_i-1 и подставим в уравнение (2.7):

α_i (p_i c_i + q_i ) +β_i c_i + γ_ic_i+1 =φ_i.

Выразим отсюда c_i:

c_i= c_i+1+ .

Сравнивая с формулой (2.8), выпишем формулы для прогоночных коэффициентов p_i+1 и q_i+1:

p_i+1= ,

q_i+1= (i=1,…, n-1).

Для вычисления p₁ , q₁ запишем краевое условие c₀=0 в виде (2.8):

с₀=p₁c₁+q₁=0.

Отсюда следует, что p₁=0, q₁=0. Определим все p_i+1, q_i+1 для i=1,…n-1 и, зная граничное условие c_n=0 по (2.8) для i=n-1,…,1, найдем все c_i.. Затем из формул (2.5) и (2.6) получим оставшиеся коэффициенты для кубического сплайна.

Задания

1. Используя интерполяционный многочлен Лагранжа степени n, построить на отрезке [a, b] графики заданной функции y=f(x) и полинома Лагранжа y=L_n(x). Вывести величину теоретической и практической погрешностей:

   • _теор. = | R _n (x) |,

   • _практ. = | f(x) – L _n (x) |.

2. Используя полином Гаусса при n=2, найти значение функции y = f(x) в точке x = x₀ с заданной точностью .

3. Используя интерполирование функции сплайнами, построить графики заданной функции y = f(x), линейного сплайна y = S¹(x) и кубического сплайна y = S³(x). Вывести практическую погрешность для сплайнов.

Варианты функций

sin (sin x) exp (sin x) sin (exp x) sin2 x + sin x + x sin (exp x2) cos (sin x2) ln (x2+x+1) cos (sin (cos x)) cos2 x+cos (x+1)+x x exp x+sin x exp (x+sin x) ln (x2+ sin2 x) ln2 x+ln x+1 x sin (x2+x) x2 exp (x2+1) cos (cos (5 x2)) ln (cos x)+ln x exp(sin (3x)+x2) ln2 x+ln x+x x cos (exp (x2+1))

sin (cos (ln x)) ln (x2+cos2 x) cos2 (sin 3x) sin (cos (sin x)) exp(sin 5x)+ln x ln (e2x + x) ln (e3x+2 x)+ex2 exp (x2-1)+x exp (5x2-3)2+sin x cos (sin2 x) ln2 x+sin x sin2 x cos (x+1) exp (sin x+x) x exp(x2+x+1) ex+cos( x2+1) x cos(e-x) x sin(ex) x sin (e-x) x2 ln ( sin (x2+1)) sin (cos (ex)) sin (cos (ex))