Турбулентные потоки. Основные параметры турбулентности.

Основной особенностью турбулентного течения является хаотическая пульсация скорости и давления в любой фиксированной точке пространства. Пульсации вызываются быстрым и хаотическим перемещением и перемешиванием элементарных частиц жидкости. Эти малые пульсации накладываются на основное установившееся течение жидкости. Эти пульсации приводят к появлению турбулентного трения, которое существенно больше чем трение при ламинарном течении. Поскольку теоретическое изучение турбулентных течений встречает непреодолимые трудности, прибегают к осреднению по времени и составляют уравнение для осредненных параметров. Представим составляющую скорости в турбулентном потоке суммой среднего значения и пульсационного добавка: u(i)=u(i)+u(i)’ Под средним значением понимаем результат осреднения скорости по времени в фиксированной точке пространства u(i)=(1/T)*инт. От T по 0 из(u(i)dt) Из закона осреднения следует, что средние значения пульсационных составляющих равны нулю: u(i)’=0 В качестве одной из главных характеристик турбулентности принимают безразмерную величину эпсилент=(кв.корень из(u’^2))/u называемую степенью турбулентности. Давление в фиксированной точке пространства также можно представить средним значением и пульсационной составляющей P=P+P’, P’=0. Совокупность средних значений скоростей и давлений определяет некоторое установившееся течение. Поэтому соответствующее турбулентное течение можно назвать в среднем установившемся. Осреднение более сложных выражений. Пусть осреднению подлежат две функции F1 и F2, тогда вектор суммы (F1+F2)=сумме векторов(F1) и (F2) векторпроизведения (F1*F2)=произведению векторов(F1) и (F2) вектор ((дельF1)/дельx)=(дель(вектор F1))/дельx Закон распределения средних скоростей зависит от осредненных пульсационных скоростей.

Уравнение Рейнольдса для турбулентного потока.

ро*(w(x)*(дельw(x)/дельx)+w(y)*(дельw(x)/дельy)+w(z)*(дельw(x)/дельz)=-(дельP/дельx)+(дель/дельx)*(мю*(дельw(x)/дельx)-ро*(w(x)’^2))+(дель/дельy)*(мю*(дельw(x)/дельy)-ро*(w(x)’w(y)’))+(дель/дельz)*(мю*(дельw(y)/дельz)-ро*(w(y)’w(z)’))

ро*(w(x)*(дельw(y)/дельx)+w(y)*(дельw(y)/дельy)+w(z)*(дельw(y)/дельz)=-(дельP/дельy)+(дель/дельx)*(мю*(дельw(y)/дельy)-ро*w(y)’^2)+(дель/дельz)*(мю*(дельw(y)/дельz)-ро*w(y)’w(z)’)

Закон сохранения энергии.

E-энергия Nm-мощность массовых сил Nn-мощность внешних поверхностных сил Q-мощность теплового потока dE/dтау=Nm+Nn+Q v=инт. по V из(ро*С(v)*Tdv E(k)=инт. по V из(((ро*w^2)/2)dv) E=v+E(k) Nm=инт. по V из(ро*F*wdv) Nn=инт. по S из(P(n)*wdS) Q=Q(тепл.)+Q(R) Q(тепл.)=инт. по S из(лямбда*(дельT/дельn)dS)=инт. по S из(лямбда*gradTdS) Q(R)=инт. по V из(ро*q(R)dv) q(R)-удельная объемная тепловая мощность Nm=Nn=0 E(k)=constq(R)=0 (d/dтау)*инт. по V из(ро*C(v)Tdv)=инт. по S из(лямбда*grad(n)TdS) инт. по S из(лямбда*grad(n)TdS)=инт. по V из(div(лямбда*gradT)dv) ро*C(v)*(dT/dтау)=div(лямбда*gradT) ро, C(v), лямбда = const (предположим) (дельT/дель тау)+w(x)*(дельT/дельx)+w(y)*(дельT/дельy)+w(z)*(дельT/дельz)=a((дель^2T/дельx^2)+(дель^2T/дельy^2)+(дель^2T/дельz^2)) –уравнение конъективного теплообмена a=лямбда/(ро*C(v)) (дельT/дель тау)=a((дель^2T/дельx^2)+(дель^2T/дельy^2)+(дель^2T/дельz^2))=a*обратная дельта^2*T - уравнение теплопроводности инт. по V из(ро*(d/dтау)*((w^2/2)+C(v)*T)dv=инт. по V из(ро*Fwdv)+инт. по S из(P(n)wdS)+инт. по S из(лямбда*(дельT/дельn)dS)+инт. по V из(ро*q(R)dv) инт. по S из(P(n)wdS)=инт. по S из((n(x)P(x)w+n(y)P(y)w+n(z)P(z)w)dS)= инт. по V из([((дель(P(x)w))/дельx)+((дель(P(y)w))/дельy)+((дель(P(z)w))/дельz)]dv)=инт. по V из(div(Pw)dv) инт. по V из([(ро*(1/dтау)*((w^2/2)+C(v)T)-div(ро*w)-ро*Fw-div(лямбда*gradтау)-ро*q(R)]dv)=0 ро*(d/dтау)*(C(v)*T+(w^2/2))=ро*Fw+div(ро*w)+div(лямбда*gradтау)+ро*q(R) - уравнение энергии ро*(d/dтау)*(w^2/2)=ро*w(dw/dтау)=ро*Fw+w*((дельP(x)/дельx)+(дельP(y)/дельy)+(дельP(z)/дельz)) (дель(P(x)w)/дельx)+(дель(P(y)w)/дельy)+(дель(P(z)w)/дельz)=w*((дельP(x)/дельx)+(дельP(y)/дельy)+(дельP(z)/дельz))+P(x)*(дельw/дельx)+P(y)*(дельw/дельy)+P(z)*(дельw/дельz) ро*C(v)*(dT/dтау)=P(x)*(дельw/дельx)+P(y)*(дельw/дельy)+P(z)*(дельw/дельz)+div(лямбда*gradT)+ро*q(R) ро*C(v)*(dT/dтау)=Ф-ро*divw-(2/3)*мю*(divw)^2+ро*q(R)+div(лямбда*gradT) - уравнение энергии в скалярном виде Ф=2*мю*(S11’^2+S22’^2+S33’^2+S12’^2+S13’^2+S23’^2) –диссипативная функция divw=0 q(R)=0 - для несжимаемой жидкости ро*C(v)*(dT/dтау)=Ф dv/dтау=Ф показывает, что в потоке диссипация механической энергии приводит к увеличению внутренней энергии.