Вихрь вектора скорости. Теорема Стокса.

Обратная дельта=(дель/дельx)i+(дель/дельy)j+(дель/дельz)k обратная дельта*а=((дельа(z)/дельy)-(дельа(y)/дельz))i+((дельа(x)/дельz)-( дельа(z)/дельx))j+((дельа(y)/дельx)-( дельа(x)/дельy))k=r0ta обратная дельта*обратная дельтафи=r0tgradфи=0 a=gradфи фи-скаляр w=омега(z)*r w(x)=-омега(z)*y w(y)=омега(z)*x (дельw(x)/дельy)=-омега(z) (дельw(y)/дельx)=омега(z) (дельw(y)/дельx)-(дельw(x)/дельy)=2омега(z)=r0t(z)w омега=1/2*r0tw Векторная линия в поле r0tw называется вихревой, векторная трубка называется вихревой, векторная поверхность называется вихревой поверхностью. i=инт. По S из(r0twdS) Поток вектора вихревой скорости через произвольное поперечное сечение вихревой трубки называется интенсивностью вихревой трубки. Теорема Стокса. Интенсивность вихревой трубки равна циркуляции скорости по замкнутому контуру, один раз опоясывающему вихревую трубку. Поток вектора r0twчерез любую поверхность, опирающуюся на некоторый замкнутый контур равна циркуляции скорости по этому контуру. Г=инт. По Lиз (adl)=инт. По Lиз (a(x)dx+a(y)dy+a(z)dz) Г=инт. С 0 по Lиз (wdl)=инт. По Sиз (r0twdS)

Безвихревое течение.

Условия безвихревого течения: r0tw=0 w=gradфи W(x)=дель фи/дельx W(y)=дель фи/дельy W(z)=дель фи/дельz Рассмотрим плоское течение несжимаемой жидкости. Плоским называется такое течение, в котором конфигурации линий тока во всех плоскостях, нормальных некоторой прямой, одинаково. 1)безнапорное течение воды в широком латке. 2)обтекание воздухом бесконечно длинного крылового профиля. (дель W(x)/дельx)+(дель W(y)/дельy)=0 (дель W(x)/дельx)=-(дель W(y)/дельy) (4.7) dx/W(x)=dy/W(y) W(y)dx-W(x)dy=0 (4.8) 4.7-необходимое и достаточное условие того, чтобы 4.8 было полным дифференциалом некоторой функции пси(x,y) –которая называется функцией тока dпси=w(y)dx-w(x)dy=(дель пси/дель x)dx+(дель пси/дель y)dy=0 w(y)=(дель пси/дель x) w(x)=-(дель пси/дель y) dпси=0 пси=const q-расход q=инт. от Bдо A из(w(x)cos(n,x)dl+w(y)cos(n,y)dl)=инт. от B до A из(-w(x)dy+w(y)dx)=инт. от B до A из(dпси)=пси(B)-пси(A) Расход между двумя линиями тока равен разности значений функций тока на этих линиях. Свойства гидродинамической сетки: 1)Сетка ортогональна 2)Одноименные линии сетки нигде не пересекаются, кроме точек с нулевой или бесконечной скоростью. 3)Бесконечно малая ячейка сетки – квадратная.

Силы, действующие в жидкости.

В жидкостях могут существовать только распределенные силы: массовые (объемные) и поверхностные. 1) Массовые силы действуют на каждую точку выделенного объема τ и пропорциональны массе частиц. Например, сила тяжести, центробежное ускорение, сила электростатического напряжения, сила Кориолиса и т.д. Массовые силы характеризуются вектором плотности массовых сил: F=lim(при дельта mстремится к 0) из(дельта F’/дельтаm) который представляет собой предел отношения главного вектора массовых сил к массе частицы при стремлении массы к нулю. В проекциях на координатные оси он может быть записан: F=X*i+Y*j+Z*k X, Y, Z – проекции F на координатные оси. [F]=м/с^2 2) Поверхностные силы характеризуются напряжениями: P=lim(при дельта m стремится к 0) из(дельта P’/дельта S) - это предел отношения главного вектора поверхностной силы, приложенного к дельтаS и величине этой площадки при стремлении ее к нулю. Величина напряжения зависит от выбора направления площадки. [P]=Па сигма-нормальное напряжение тау-касательное напряжение

Нормальное и касательное напряжения, действующие в движущейся жидкости.

Закон сохранения количества движения для неизолированной системы может быть записан в виде: dK/dt=R где K - главный вектор количества движения системы R - главный вектор внешних сил, действующих на систему В жидкости выделим элементарный тетраэдр с гранями dсигма(x), dсигма(y), dсигма(z), dсигма(n) . Индекс показывает перпендикулярно какой оси расположены грани, dсигма(n) – наклонная грань. К граням приложены соответствующие напряженияP(x), P(y), P(z), P(n)(не перпендикулярные граням). Масса тетраэдраdm. На тетраэдр действуют массовые и поверхностные силы. Массовые характеризуются вектором плотности F , поверхностные – напряжениями. d/dt(V(c)*dm)=F’+P’ V(c) - скорость центра инерции тетраэдра dm(dV(c)/dt)=Fdm+P(n)dсигма(n)-P(x)dсигма(x)-P(y)dсигма(y)-P(z)dсигма(z) dmволна dxdydz–третий порядок малости dсигма(x) волна dydz–второй порядок малости Членами третьего порядка малости пренебрегаем. P(n)dсигма(n)-P(x)dсигма(x)+P(y)dсигма(y)+P(z)dсигма(z) :делим на dсигма(n) dсигмаx=dсигма(n)cos(x,n) и т.д. Получим связь напряжений, действующих на грани выделенного тетраэдра: P(n)=n(x)P(x)+n(y)P(y)+n(z)P(z) В проекциях на координатные оси это уравнение может быть переписано: Система уравнений из: P(nx)=n(x)P(xx)+n(y)P(yx)+n(z)P(zx) P(ny)=n(x)P(xy)+n(y)P(yy)+n(z)P(zy) P(nz)=n(x)P(xz)+n(y)P(yz)+n(z)P(zz) В записанной системе P(xx), P(yy), P(zz)называются нормальными напряжениями, а P(xy), P(zx)и т.д. называются касательными напряжениями. Все напряжения могут быть записаны в матричной форме в виде симметричного тензора напряжений: P=матрица 3 на 3 из(Pxx, Pxy, Pxz, Pyx, Pyy, Pyz, Pzx, Pzy, Pzz) Первый индекс определяет ось, относительно которой расположена грань, второй – ось на которую проецируется напряжение. Уравнение движения в напряжениях.

Рассмотрим элементарный параллелепипед с ребрамиdx, dy, dz. Объем его dтау=dxdydz.На него действуют массовые и поверхностные силы определяемые главным вектором внешних сил R=F’+P’ .К параллелепипеду применим закон сохранения количества движения: dK/dt=R d/dt(V*ро*d*тау)=F*ро*d*тау+P’ Для определения главного вектора поверхностных сил рассмотрим все силы, дающие проекцию на ось х. Для граней перпендикулярных х проекцию дают только силы, создаваемые нормальными напряжениями. Поэтому равнодействующая этих сил равна: -P(xx)dydz+(P(xx)+(дельP(xx)/дельx)dx)dydz=(дельP(xx)/дельx)dтау Аналогично для граней перпендикулярных z получим равнодействующую равную: (дельP(zx)/дельz)dтау Равнодействующая поверхностных сил в проекции на ось х равна: ((дельP(xx)/дельx)+(дельP(yx)/дельy)+(дельP(zx)/дельz))dтау Тогда закон сохранения количества движения в проекции на х можно записать: система из: ро*dтау(du/dt)=ро*dтауX+((дельP(xx)/дельx)+(дельP(yx)/дельy)+(дельP(zx)/дельz))dтау ро(dv/dt)=роY+((дельP(xy)/дельx)+(дельP(yy)/дельy)+(дельP(zy)/дельz)) ро(dw/dt)=роZ+((дельP(xz)/дельx)+(дельP(yz)/дельy)+(дельP(zz)/дельz)) Полученная система называется системой уравнений движения сплошной среды в напряжениях. В левой части стоит полная производная от скоростей, которые могут быть расписаны через локальные и конвективные составляющие ускорения. При определенных условиях левая часть значительно упрощается (стационарное, двухмерное или одномерное течение). систему можно записать в виде одного уравнения в векторной форме записи: ро(dV/dt)=роF+(дельP(x)/дельx)+(дельP(y)/дельy)+(дельP(z)/дельz)