- •Вопрос 3 :
- •Вопрос 4
- •Вопрос 5
- •Вопрос 6
- •Вопрос7
- •Вопрос 10
- •Вопрос 11. Понятие монотонной и строго монотонной функции.
- •Вопрос 12. Необходимое и достаточное условие непрерывности на сегменте строго монотонной ф-ии.
- •Вопрос 13. Функциональный аналог теоремы о двустороннем ограничении.
- •Вопрос 14. Классификация точек разрыва ф-ии.
- •Вопрос 15. Точная верхняя и точная нижняя грани ф-ии на сегменте.
- •Вопрос 16. Приращение ф-ии и приращение аргумента.
- •Вопрос 17. Правая и левая производные в точке.
- •Вопрос 18. Дифференцирование сложной и обратной ф-ий.
- •Вопрос 19. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Вопрос 20. Возрастание и убывание ф-ии в точке.
- •21. Теоремы Роля и Лагранжа, геометрический смысл.
- •22. Постоянство функции, имеющей на интервале равную нулю производную. Условие монотонности функции на интервале. Теорема Коши.
- •23. Первое и второе правила Лопиталя. Примеры.
- •24. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Формула Маклорена. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций.
- •31) Свойства неопределенного интеграла. Таблица неопределенных интегралов.
- •32)Основные методы интегрирования – замена переменной и по частям. Примеры.
- •33)Понятие интегральной суммы и ее предела. Определенный интеграл.
- •34) Верхние и нижние суммы и их свойства.
- •35)Необходимое и достаточное условие существования определенного интеграла. Интегрируемость монотонных, непрерывных и кусочно-непрерывных функций.
- •36)Свойства определенного интеграла. Формулы среднего значения для ограниченно и непрерывной функции.
- •Вопрос 41
- •Вопрос 42
- •Вопрос 43
- •Вопрос 44
- •45. Арифметические операции над функциями, имеющими предел.
- •46. Непрерывность функции m переменных по Гейне и по Коши. Точки разрыва. Непрерывность на множестве.
- •47.Непрерывность функции m переменных по одной переменной. Арифметические операции над непрерывными в точке функциями.
- •48. Непрерывность сложной функции. Устойчивость знака непрерывной в точке функции, прохождение непрерывной функции через любое промежуточное значение.
- •49. Первая и вторая теоремы Вейерштрасса. Теорема Кантора о равномерной непрерывности.
31) Свойства неопределенного интеграла. Таблица неопределенных интегралов.
1) d∫ ƒ(x) = ƒ(x)dx.
2) ƒ dF(x) = F(x) + C.
Эти два свойства вытекают из определения – Совокупность всех первообразных функции ƒ(х) на интервале (a,b) называется неопределенным интегралом от функции ƒ(х) и обозначается символом ∫ ƒ(х)dx.
Свойство 1) означает, что знаки d и ƒ взаимно сокращаются, если знак дифференциала d стоит перед знаком интеграла ∫. Свойство 2) означает, что знаки ∫ и d взаимно сокращаются и в случае, когда знак интеграла ∫ стоит знаком дифференциала d, но в этом случае к F(x) следует добавить произвольную постоянную C.
Для установления свойства 1) достаточно взять дифференциал от обеих частей равенства ∫ ƒ(х) dx = F(x) + C и учесть, что d[F(x) + C] = dF(x) = F'(x)dx = ƒ(x)dx.
Для установления свойства 2) достаточно в левой части ∫ ƒ(х) dx = F(x) + C воспользоваться равенством dF(x) = f(x)dx.
Следующие два свойства называются линейными свойствами неопределенного интеграла:
3) ∫ [ƒ(x) ±g(x)]d(x) = ∫ ƒ(x)dx ± ∫ g(x)dx.
4) ∫ [Aƒ(x)]dx = A∫ ƒ(x)dx, если А – постоянная.
Равенство в формулах 3) и 4) носит условный характер: его следует понимать как равенство левой и правой частей с точностью до произвольного постоянного слагаемого (это понятно, поскольку каждый из интегралов, стоящих в 3) и 4), определен с точностью до произвольного постоянного слагаемого).
Так как две первообразные одной и той же функции могут отличаться только на постоянную, то для обоснования свойства 3) достаточно доказать, что если F (x) – первообразная функции ƒ(х), а G(x) – первообразная функции g(x), то функция
[F(x)±G(x)] является первообразной функции [ƒ(x) ±g(x)], но это сразу вытекает из равенства [F(x)±G(x)]' = F'(x)±G'(x) = ƒ(x) ±g(x).
Свойство 4) доказывается аналогично с использованием равенства [AF(x)]' = AF'(x) = Aƒ(x).
Таблица основных неопределенных интегралов.
Опираясь на понятие неопределенного интеграла, мы можем утверждать, что каждая формула этой таблицы, устанавливающая, что та или иная функция F(x) имеет производную, равную ƒ(x), приводит нас к соответствующей формуле интегрального исчисления ∫ ƒ(х)dx = F(x) + C.
Таблица) везде прибавлять С)
∫0dx = C.
∫1dx = x + C.
,
при (x≠π/2 +πn, где n =0,±1,...).
при (x±πn, n=0,±1,...).
12) ( в таблице вместо а - 1)
13) ( в таблице вместо а – 1)
Замечания:
Формула 4) – существует только при х≠0. Если х>0, то из формулы (lnx)'=1/x заключаем, что ∫dx/x = ln׀x׀ + C, а если х<0, то из формулы [ln(-x)]'=1/x заключаем, что ∫dx/x=ln(-x)+C.
Формула 12) и13) занимают там исключительное положение, так как не имеют аналогов в таблице производных. Для проверки справедливости – производные выражения, стоящие в их правых частях, совпадают с соответствующими подынтегральными функциями.
Элементарные функции ƒ(х), первообразные F(x) которых часто встречаются в приложениях и не являются элементарными функциями:
Функция Лапласа.
Интегралы Френеля. и
Первообразную функции ƒ(х)=1/ln(x), определенную при х>0 и стремящуюся к нулю при х→0, называют интегральным логарифмом.
Первообразную функции ƒ(х)=sinx/x, обращающуюся в –π/2 при х=0, называют интегральным синусом. Обозначается символом si x.