Вопрос 43

Свойство ограниченной последовательности точек

Последовательность ограничена, если все ее точки принадлежат замкнутому шару достаточно большого радиуса с центром в начале координат.

Теорема Больцано-Вейерштрасса

Из любой ограниченной последовательности {Mn} точек m-мерного евклидова пространства можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Вопрос 44

Предел функции по Гейне и по Коши

По Гейне

Число b называется пределом функции u=f(M) в точке А есля для любой сходящейся к А последовательности {Mn} точек множества {M} задания этой функции все элементы Mn которой отличны от А, соответствующая числовая последовательность значений функции {f(Mn)} сходится к числу b.

По Коши

Число b называется пределом функции u=f(M) в точке А есля для любого положительного чмсла е найдется отвечающее ему положительное число дельта такое, что для любой точки М из множества {M} задания этой функции, удовлетворяющей условию 0<р(М, А)<дельта, справедлево неравенство |f(M)-b|< e

Критерий Коши существования предела

Для того, чтобы функция U=f(M) имела конечный предел в точке М=А (при М стрем к беск-ти) , необходимо и достаточно, чтобы эта ф-я удовлетворяла в точке М=А условию Коши.

Функция удовлетворяет условию Коши в точке М=А при Мстрем к беск-ти, если для любого полоржит е найдется отвечающее ему положит гамма, такое, что для любых двух M’ и M’’ Из множества {M} задания функции справедливо нер-во |f(M’)-f(m’’)|< e

45. Арифметические операции над функциями, имеющими предел.

Бесконечно малые функции m переменных.

Пусть 2 ф-ции f(M) и g(M) заданы на одном и том же множестве {M} и имеют в точке А пределы, соответственно равные b u c. Тогда функции f(M) + g(M), f(M) – g(M), f(M) * g(M), f(M) / g(M) имеют в точке А пределы, соответственно равные b + c, b – c, b * c, b / c (в случае частного нужно дополнительно требовать, чтобы с было отлично от нуля)

Функция u = f(M) называется бесконечно малой в точке А(Мбесконечности), если lim (MA) f(M) = 0 (lim (M бесконечности) f(M) = 0)

Функция f(M) = (x1 – a1) v stepeni n1 + (x2 – a2) v stepeni n2 +…+ (xm – am) v stepeni nm, n1, n2,…, nm – положительные числа, является бесконечно малой в точке А(а1, а2,…, аm)

Если функция u = f(M) имеет равный b предел в точке А, то функция альфа(М) = f(M) – b является бесконечно малой в точке А.

46. Непрерывность функции m переменных по Гейне и по Коши. Точки разрыва. Непрерывность на множестве.

Функция u = f(M) называется непрерывной в точке А, если предел этой функции в точке А существует и равен частному значению f(A).

По Гейне:

Функция u = f(M) называется непрерывной в точке А, если для любой сходящейся к А последовательности {Mn} точек множества {M} задания этой функции соответствующая последовательность {f(Mn)} значений этой функции сходится к числу f(A).

По Коши:

Функция u = f(M) называется непрерывной в точке А, если для любого положительного числа е найдется отвечающее ему число Б такое, что для любой точки М из множества {M} задания этой функции, удовлетворяющей условию р(М, А) < Б, справедливо неравенство |f(M) – f(A)|<e.

Точки пространства R в степени m, в которых функция u = f(M) не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва этой функции.

Функция u = f(M), определенная на множестве {M}, называется непрерывной на этом множестве, если она непрерывна в каждой точке М этого множества.