47.Непрерывность функции m переменных по одной переменной. Арифметические операции над непрерывными в точке функциями.

Функция u = f(х1, х2,…, хm) называется непрерывной в точке М(х1, х2,…, хm) по переменной xk, если частной приращение (треугольник xk) и этой функции в точке М представляет собой бесконечно малую функцию от (треугольник xk), т.е. если lim (треугольник xk 0) (треугольник xk) u = 0.

Если f(M) b g(M) заданы на одном и том же множестве {M} и непрерывны в некоторой точке А этого множества, то функции f(M) + g(M), f(M) – g(M), f(M) * g(M), f(M) / g(M) также непрерывны в точке А (в случае частного g(A) не равно нулю).

48. Непрерывность сложной функции. Устойчивость знака непрерывной в точке функции, прохождение непрерывной функции через любое промежуточное значение.

Пусть функция х1 = ф1(t1, t2,…, tk), x2 = ф2(t1, t2,…, tk),…, xm = фm(t1, t2,…,tm) непрерывны в точке А(а1, а2,…аk), а функция u = f(x1, x2,…, xm) непрерывна в точке B(b1, b2,…, bm), где bi = фi(a1, a2,…ak) при i = 1, 2,…, m. Тогда сложная функция u = f(x1, x2,…, xm), где x1, x2,…, xm представляют собой определенные выше функции аргументов t1, t2,…, tk, непрерывна в точке А(а1, а2,…аk).

Если функция u = f(M) непрерывна в точке А евклидова пространства R в степени m и если f(A) не равно 0, то существует такая Б-окрестность точки А, в пределах которой f(M) не обращается в ноль и имеет знак, совпадающий со знаком f(M).

Пусть u = f(M) непрерывна во всех точках связного множества {M} евклидова пространства R в степени m, причем f(A) и а(В) – значения этой функции в точках А и В этого множества. Пусть, далее, С – число, заключенное между f(A) u f(B). Тогда на любой непрерывной кривой L, соединяющей точки А и В и целиком располагающейся в {M}, найдется точка N такая, что f(N) = C.

49. Первая и вторая теоремы Вейерштрасса. Теорема Кантора о равномерной непрерывности.

Если функция u = f(M) непрерывна на замкнутом ограниченном множестве {M}, то она ограничена на этом множестве.

Если функция u = f(M) непрерывна на замкнутом ограниченном множестве {M}, то она достигает на этом множестве своих точной верхней и точной нижней граней.

Непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функция равномерно непрерывна на этом множестве.

13