- •Вопрос 3 :
- •Вопрос 4
- •Вопрос 5
- •Вопрос 6
- •Вопрос7
- •Вопрос 10
- •Вопрос 11. Понятие монотонной и строго монотонной функции.
- •Вопрос 12. Необходимое и достаточное условие непрерывности на сегменте строго монотонной ф-ии.
- •Вопрос 13. Функциональный аналог теоремы о двустороннем ограничении.
- •Вопрос 14. Классификация точек разрыва ф-ии.
- •Вопрос 15. Точная верхняя и точная нижняя грани ф-ии на сегменте.
- •Вопрос 16. Приращение ф-ии и приращение аргумента.
- •Вопрос 17. Правая и левая производные в точке.
- •Вопрос 18. Дифференцирование сложной и обратной ф-ий.
- •Вопрос 19. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •Вопрос 20. Возрастание и убывание ф-ии в точке.
- •21. Теоремы Роля и Лагранжа, геометрический смысл.
- •22. Постоянство функции, имеющей на интервале равную нулю производную. Условие монотонности функции на интервале. Теорема Коши.
- •23. Первое и второе правила Лопиталя. Примеры.
- •24. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Формула Маклорена. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций.
- •31) Свойства неопределенного интеграла. Таблица неопределенных интегралов.
- •32)Основные методы интегрирования – замена переменной и по частям. Примеры.
- •33)Понятие интегральной суммы и ее предела. Определенный интеграл.
- •34) Верхние и нижние суммы и их свойства.
- •35)Необходимое и достаточное условие существования определенного интеграла. Интегрируемость монотонных, непрерывных и кусочно-непрерывных функций.
- •36)Свойства определенного интеграла. Формулы среднего значения для ограниченно и непрерывной функции.
- •Вопрос 41
- •Вопрос 42
- •Вопрос 43
- •Вопрос 44
- •45. Арифметические операции над функциями, имеющими предел.
- •46. Непрерывность функции m переменных по Гейне и по Коши. Точки разрыва. Непрерывность на множестве.
- •47.Непрерывность функции m переменных по одной переменной. Арифметические операции над непрерывными в точке функциями.
- •48. Непрерывность сложной функции. Устойчивость знака непрерывной в точке функции, прохождение непрерывной функции через любое промежуточное значение.
- •49. Первая и вторая теоремы Вейерштрасса. Теорема Кантора о равномерной непрерывности.
Вопрос 18. Дифференцирование сложной и обратной ф-ий.
Теорема. Пусть ф-я х=фи(t) дифференцируема в точке t, а ф-я y=f(x) дифференцируема в соот-щей точке х=фи(t). Тогда сложная ф-я у=f[фи(t)] дифференцируема в указанной точке t, причем для ее производной в этой точке справедлива формула {f[фи(t)]} штрих = f штрих (x) фи штрих (t)=f штрих [фи (t)]фи штрих (t).
Обратная ф-я. Пусть ф-я y=f(x) возрастает (или убывает) и непрерывна в некоторой окрестности точки х. Пусть, кроме того, эта ф-я дифференцируема в указанной точке х, и ее производная в этой точке f штрих (x) отлична от нуля. Тогда в некоторой окрестности соответствующей точки y=f(x) определена обратная для y=f(x) ф-я х=f (в степени минус 1)(у), причем указанная обратная ф-я дифференцируема в соответствующей точке y=f(x) и для ее производной в этой точке справедлива формула {f(в степени -1)(y)}штрих= 1/f штрих(x).
Дифф-е суммы, разности, произведения и частного ф-й
Теорема. Если каждая из ф-й u (х) и v (x) дифференцируема в данной точке х, то сумма , разность, произведение и частное этих ф-й (частное при условии, что значение v(x)не равно 0) также дифференцируемы в этой точке.
(с)’=0
X’=1
(Sin x)’=Cos x
(Cos x)= -Sin x
(tg x)’= 1/cos x
(ctg x)’= -1/sin x
(u+-v)’=u’+v’
(eu)’=e*u’
(uv)’=u’v+v’u
(u/v)’= u’v-uv’/v в квадрате
Вопрос 19. Производные и дифференциалы высших порядков.
Производная f’(x) ф-ии y=f(x), определенной и дифференцируемой на интервале (a,b), представляет собой ф-ю, также определенную на интервале (a,b). Может случиться, что эта ф-я f’(x) сама явл-ся дифференцируемой в некоторой точке х интервала (a,b), т.е. имеет в этой точке производную. Тогда указанную производную наз-т второй производной (или производной второго порядка) ф-ии y=f(x) в точке х и обозначают символом f(с индексом 2) (х) или у(с индексом 2) (х) (иногда используют символы f(двойной штрих)(х) или y(двойной штрих)(х).
Заданная параметрически. Пусть х и у заданы как ф-ии некоторого параметра t: x=фи(t), у=₩ (t). Предположим, что фи(t) и =₩ (t) имеют нужное число производных по переменной t в рассматриваемой области изменения этой переменной. Кроме того, предположим, что ф-я : x=фи(t) в окрестности рассматриваемой точки имеет обратную ф-ю t=фи (в степени -1)(x). Последнее предположение дает нам возможность рассматривать у как ф-ю аргумента х.
Вопрос 20. Возрастание и убывание ф-ии в точке.
Будем говорить, что определенная в некоторой окрестности точка х0 ф-я f(x)
Возрастает (соот-но убывает) в точке х0, если сущ-т такая достаточно малая окрестность точки х0, в пределах которой f(x)>f(x0) при x>x0, f(x)<f(x0) при x<x0 (соот-но f(x)<f(x0) при x>x0, f(x)>f(x0) при x<x0 ).
Теорема. Достаточное условие возрастания или убывания дифференцируемой в данной точке ф-ии. Если ф-я f(x) имеет производную в точке х0 и f’(x0)>0(соот-но f’(x0)<0, то ф-я f(x) возрастает (соот-но убывает) в точке х0.
Локальный экстремум
Будем говорить, что определенная в некоторой окрестности точки х0 ф-я f(x) имеет в точке х0 локальный максимум (соот-но локальный минимум), если сущ-т такая достаточно малая окрестность точки х0, в пределах которой значение f(x0) явл-ся наибольшим (соот-но наименьшим) среди всех значений f(x) этой ф-ии.
Теорема. Необходимое условие локального экстремума дифференцируемой в данной точке ф-ии. . Если ф-я f(x) дифференцируема в точке х0 и имеет в этой очке локальный экстремум, то f’(x0)=0.