25.Понятие сходимости почти всюду. Теорема Егорова.
П.3. Эквивалентность
Опр. Функции f и g называются эквивалентными, если
Говорят, что некоторое свойство выполнено почти всюду, если оно выполнено везде, кроме множества меры ноль.
Функция, эквивалентная измеримой, измерима.
П.4. Сходимость почти всюду
Опр.
сходится к f(x)
почти всюду, если
Пример:
кроме
x=1
почти
всюду на
Если последовательность измеримых функций сходится к f(x) почти всюду, то f(x)- измерима
Если
почти всюду и
,
то f(x)
и g(x)
эквивалентны.
Теорема 5(Егорова)
Пусть
Е – множество конечной меры.
Последовательность измеримых функций
почти всюду на Е.
Тогда
изм.
мн-во
и
□
f(x)-измерима
Докажем,
что
на
:
При
-
опр. равн. сх-ти
Оценим
сколь
угодно большое i
■
26. Понятие сходимости по мере. Две теоремы о связи сходимости по мере и сходимо-
сти почти всюду (с док-вами). Теорема Лузина (без док-ва).
П.5 Сходимость по мере
Опр.
Последовательность измеримых функций
сходится к
по мере
,
если для
Теорема 6
Если
последовательность измеримых функций
сходится к
почти всюду, то
сходится к
по
мере
□
-измерима
Докажем:
■
Замечание: обратное неверно
Теорема 7
Пусть
последовательность измеримых функций
сходится к
по
мере. Тогда из
можно выделить
,
которая сходится к
почти всюду.
□
Докажем,
что
почти всюду
Докажем, что на E\Q
■
Теорема 8(Лузина)
Для
того чтобы функция
была измеримой необходимо и достаточно
чтобы
-
непрерывная на [a,b],
что
(c-свойство)
27. Простые функции: определение, теорема о простой функции. Необходимое и дос-
таточное условие измеримости функции. Интеграл Лебега для простых функций,
его свойства.
П.1 Простые функции
называется
простой,
если она измерима и принимает не более
чем счетное число значений.
Теорема
1.
,
принимающая значения
измерима
тогда и только тогда, когда каждое
множество
измеримо.
□
1)
Пусть
- измерима.
Т.к. множество
-
борелевское
=>
измеримо. 2) Пусть
- измеримы. Любое борелевское множество
из
имеет вид
=> его прообраз есть
-
измерим =>
измерима. ■
Теорема 2. Для измеримости функции необходимо и достаточно, чтобы она могла быть представлена как предел равномерно сходящейся последовательности простых функций.
□
Достаточность.
Пусть
- простые
функции,
=>
измерима.
Необходимость.
Пусть
- измерима, пусть
=>
■
П.2 Интеграл Лебега для простых функций
Пусть простая, ее значения
Пусть
- измеримо
(*)
Простая
функция
называется интегрируемой
(суммируемой)
по мере
на множестве
,
если ряд (*) сходится абсолютно
Свойства:
□
■
Если простая функция ограничена, т.е.
,
то она интегрируема и
28. Интеграл Лебега для произвольных функций. Свойства интеграла Лебега. Теорема
о счетной аддитивности интеграла Лебега (с док-вом). Обратная теорема (без док-
ва). Неравенство Чебышева. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега.
П.3 Интеграл Лебега для произвольных функций
Функция
называется интегрируемой
(суммируемой)
на множестве
,
если
последовательность простых интегрируемый
функций
,
сходящаяся равномерно к
.
Тогда
Обоснования корректности определения
Для
□
Рассмотрим
■
2)
Пусть
□
Пусть
пределы разные, составим
не найдется предела, противоречие с
первым пунктом
■
3) Если - простая, то определение совпадает с определением 2-го пункта.
Свойства интеграла Лебега:
1)
2)
Линейность
3) Если ограничена, то она интегрируема
4)
Монотонность. Если
(почти
везде), то
5)
Если
(почти
везде), то
6)
Если
(почти
везде), то
7)
Если
,
то
8)
Если
и
эквивалентны, то
9)
Если
интегрируема на
и
(почти
везде), то
интегрируема на
10)
Интегралы
и
существуют или не существуют одновременно
Теорема 3 ( -аддитивность интеграла Лебега)
Пусть
и
интегрируема на
Тогда
□
1)
Пусть
простая,
Пусть
2) Пусть произвольная.
Пусть
простая, интегрируемая
Рассмотрим
■
Следствие:
Если
интегрируема на
,
то она интегрируема на
измеримом
Теорема
4. Пусть
и ряд
сходится, тогда:
Теорема 5 (Неравенство Чебышева)
Пусть
на
,
тогда
□
Пусть
■
Следствие:
Если
,
то
почти везде.
Теорема 6 (Абсолютная непрерывность интеграла Лебега)
Пусть
интегрируема на
,
тогда для
,
что для
множества
и
=>
-
фиксированная функция
Рассмотрим
-аддитивна,
может быть мерой