22. Лебегово продолжение меры. Структура системы измеримых по Лебегу множеств.

Понятие полноты меры. Продолжение меры по Жордану.

§4. Лебегово продолжение меры

Пусть - полукольцо множеств с единицей Е. - -аддитивная мера на . М- система всех подмножеств множества Е. Введем внешнюю меру на М: .

Опр.1 Множество A называется измеримым (по Лебегу), если . Мера , рассматриваемая на измеримых множествах называют продолжением меры по Лебегу.

Система измеримых множеств - -алгебра и мера - -аддитивна и непрерывна.

Опр. 2 Мера называется полной, если - измеримо.

Продолжение меры по Лебегу – полная мера

Продолжение меры по Жордану

Пусть мера задана на кольце (не - аддитивна). Множество называется измеримым по Жордану, если:

Если множество измеримо по Жордану, то оно измеримо по Лебегу, но обратное неверно.

23. Измеримые функции: определения (X,y ) – измеримой, -измеримой, борелев-

ской функции. Теорема о суперпозиции измеримых функций. Необходимое и дос-

таточное условие измеримости функции.

Измеримые функции

П. 1. Определения.

Пусть - множества. - выделенные системы подмножеств. Рассмотрим функции .

Опр. 1 Функция называется - измеримой, если .

Если взять - все открытые множества. Функция - измерима функция – непрерывна.

Пусть - система измеримых множеств, - -аддитивна. ,

- система борелевских множеств из .

Опр. 2 Функция называется - измеримой (или просто измеримой), если .

Функция называется борелевской ( - измеримой), если

- борелевского множества - борелевское множество.

Теорема 1. (о суперпозиции измеримых функций)

Пусть - множества. - системы подмножеств этих множеств, - измерима и - измерима. Тогда: - измерима.

, так как - измерима, то , так как - измерима, то ∎

Теорема 2. (необходимое и достаточное условие измеримости функции)

Для измеримости функции необходимо и достаточно, чтобы множество было измеримо.

1) Необходимость. - борелевское множество. - измеримо.

2) Достаточность. Множество вида порождают минимальную - алгебру, которое является - алгеброй борелевского множества. , где - борелевское, - измеримо. ∎

Замечание. Так как все множество Е измеримо (возможно, бесконечной меры), то множество можно заменить на любое из двух следующих множеств:

24. Теорема об арифметических операциях с измеримыми функциями. Теорема об из-

меримости предела последовательности измеримых функций.

Теорема 3 . Пусть f и g измеримые функции. Тогда -измеримы.

□1) Пусть f - измеримая функция. Тогда очевидно, что - измерима, - измерима. Второе утверждение следует из того, что условие равносильно условию . Для доказательства первого рассмотрим разные значения k: .

2) Докажем, что для измеримых функций f и g - измеримо.

3) Докажем, что квадрат измеримой функции измерим.

4) Докажем, что произведение измеримых функций измеримо.

_{5) Функция, обратная к измеримой - измерима. Рассмотрим неравенство . При разных C оно равносильно}

■

Теорема 4 . Пусть - последовательность измеримых функций, . Тогда - измерима.

□ Докажем: .

3)Так как в правой части измеримые множества, следовательно в левой части так же измеримые, а значит f(x)- измерима.