18. Теорема о непрерывности меры Лебега. Какие множества измеримы по Лебегу?

Теорема 4. (непрерывность меры)

Пусть - убывающая последовательность измеримых множеств. Тогда .

⧠ Пусть . Рассмотрим два случая.

1) Если .Имеем

При . .

2) _{. Тогда перейдем к множествам : , и} ∎

Следствие. Для возрастающей последовательности измеримых множеств .

⧠ Для доказательства перейдем к множествам _,

∎

Класс измеримых множеств образуют -алгебру.

Любое открытое ограниченное множество представимо в виде объединения счетного числа открытых прямоугольников оно измеримо.

Измеримы по Лебегу:

- все открытые множества ;

-все замкнутые ;

- счетные объединения открытых и замкнутых множеств (Борелевские множества)

- существуют и другие измеримые множества, не являющиеся борелевскими.

Множества с бесконечной мерой мы будем считать измеримыми (их мера равна бесконечности).

19. Обобщение понятие меры Лебега на случай всей плоскости. Пример неизмеримого

множества.

П.3 Обобщение понятия меры

Для задания меры на всей плоскости разобьем ее на единичные квадраты: .

_{Множество} измеримо, если для - измеримо и . Если ряд расходится, то .

В пространстве _{мера Лебега определяется также, как и в пространстве .}

Пример неизмеримого по Лебегу множества.

Возьмем окружность С длиной 1. Пусть - произвольное иррациональное число. Разобъем С на классы. Точки А и В лежат в одном классе, если В можно получить из А поворотом на угол .

Составим множество - в него войдет по одной точке из каждого класса. Пусть множество получено поворотом на угол . Все множества конгруэнтны. Тогда

Если предположить, что измеримо по Лебегу, то , но тогда -противоречие.

20.Мера Лебега-Стилтьеса. Понятие абсолютно-непрерывной, дискретной и сингу-

лярной меры.

П.4 Мера Лебега-Стильтьеса

Пусть - неубывающая, непрерывная слева (F(x-0)=F(x)). Определим меру промежутка следующим обазом:

Если - мера Лебега.

называется абсолютно непрерывной, если .

называется дискретной, если множество значений F конечно или счетно.

называется сингулярной, если

Любая мера представима в виде суммы абсолютно непрерывной, дискретной и сингулярной мер.

21. Общее понятие меры. Продоление меры. Теорема о существовании и единственно-

сти продолжения меры. Понятие счетно-аддитивной меры.

§3 Общее понятие меры

Опр.1 Функция множества называется мерой, если

1. Область определения – полукольцо

2. Область значений

3. Конечная аддитивность:

Опр.2 Мера называется продолжением меры , если

Теорема 1. Для любой меры , заданной на проколотой , существует и единственно ее продолжение на минимальное кольцо , порожденное .

⧠ 1) Существование.

- удовлетворяет всем требованиям к мере и к продолжению меры.

2) Единственность. Пусть - мера на

не зависит от способа разбиения на ∎

Опр.3 Мера называется -аддитивной (счетно-аддитивной), если

Примеры:

1. Мера Лебега - -аддитивна.

2. Вероятностная мера .

-аддитивна.

Конечно-аддитивна

- нет -аддитивности.

Теорема 2. Если мера на полукольце является - аддитивной, то и её продолжение на кольцо будет - аддитивно.

(Без доказательства)