- •1.Ортогональные и ортонормированные системы функций, ряды Фурье по ортого-
- •§1 Ортогональные системы функций. Ряды Фурье по ортогональным системам функций
- •Частичные суммы рядов Фурье: ядро Дирихле, формулы Дирихле.
- •3.Сходимость ряда Фурье в точке: Принцип локализации, условие Гёльдера, теорема
- •4.Равномерная сходимость ряда Фурье: Неравенство Бесселя, Теорема о равномерной
- •5.Сходимость семейства функций: определение равномерной сходимости семейства
- •6.Собственные интегралы с параметрами: свойства, теорема о дифференцировании
- •§1. Собственные интегралы с параметрами
- •7. Равномерная сходимость несобственного интеграла с параметрами: определение,
- •8. Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов: теоремы о предель-
- •9. Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов: теоремы о диффе-
- •10. Эйлеровы интегралы. Гамма-функция: определение, основное соотношение, про-
- •§3. Эйлеровы интегралы
- •11. Интеграл Фурье: определение, теорема (с леммами) о сходимости интеграла Фу-
- •§4 Интеграл Фурье
- •12. Преобразование Фурье: определение, свойства (ограниченность и непрерывность
- •§5. Преобразования Фурье
- •13. Теоремы о преобразовании Фурье и дифференцировании. Преобразование Фурье
- •14. Системы множеств: определения кольца, минимального кольца. Теорема о сущест-
- •§1 Системы множеств
- •15. Мера клеточных множеств. Теорема о полуаддитивности меры клеточных мно-
- •16. Внешняя мера, измеримые множества, мера Лебега. Свойства внешней меры.
- •17. Теорема о конечной аддитивности меры Лебега. Теорема о счетной аддитивности
- •18. Теорема о непрерывности меры Лебега. Какие множества измеримы по Лебегу?
- •19. Обобщение понятие меры Лебега на случай всей плоскости. Пример неизмеримого
- •20.Мера Лебега-Стилтьеса. Понятие абсолютно-непрерывной, дискретной и сингу-
- •21. Общее понятие меры. Продоление меры. Теорема о существовании и единственно-
- •§3 Общее понятие меры
- •22. Лебегово продолжение меры. Структура системы измеримых по Лебегу множеств.
- •§4. Лебегово продолжение меры
- •23. Измеримые функции: определения (X,y ) – измеримой, -измеримой, борелев-
- •24. Теорема об арифметических операциях с измеримыми функциями. Теорема об из-
- •25.Понятие сходимости почти всюду. Теорема Егорова.
- •26. Понятие сходимости по мере. Две теоремы о связи сходимости по мере и сходимо-
- •27. Простые функции: определение, теорема о простой функции. Необходимое и дос-
- •28. Интеграл Лебега для произвольных функций. Свойства интеграла Лебега. Теорема
- •29. Предельный переход в интеграле Лебега. Теорема Лебега (с док-вом). Теоремы
- •30. Понятие сигма-конечной меры. Интеграл Лебега по множеству бесконечной меры.
- •31. Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана.
- •32. Произведение мер. Формула для нахождения меры множества с помощью интегра-
- •§ 7 Произведение мер. Теорема Фубини.
- •33. Пространства суммируемых функций l1 и l2 . Теорема о полноте пространства l1.
- •§ 8 Пространства суммируемых функций.
15. Мера клеточных множеств. Теорема о полуаддитивности меры клеточных мно-
жеств. Следствие о счетной аддитивности.
П.1 Мера клеточных множеств
Будем рассматривать пространство .
Рассмотрим - полукольцо прямоугольников (клеток).
Клеточное (элементарное) множество: - объединение конечного числа прямоугольников. Система клеточных множеств образует кольцо.
Свойства меры клеточных множеств:
- конечно-аддитивна, т.е.
Не зависит от способа разбиения на прямоугольники
■
Определение 1. Покрытием множества А называется конечная или бесконечная система открытых множеств , объединение которых содержит множество А : .
Лемма Гейне-Бореля. Пусть А-компакт, тогда из любого его покрытия можно выделить конечное подпокрытие. (без доказательства)
Теорема 1 (Полуаддитивность меры клеточных множеств)
Пусть А – клеточное множество - его покрытие прямоугольниками (конечное или счетное), тогда .
- замкнутое клеточное множество,
- открытое, : - клеточные, .
По Лемме Гейне-Бореля из выделим такую, что и
■
Следствие (𝛔 - аддитивность, счетная аддитивность)
Пусть - клеточные. Тогда .
, так как - покрытие ∎
16. Внешняя мера, измеримые множества, мера Лебега. Свойства внешней меры.
Свойства измеримых множеств.
Мера Лебега (классическая)
Рассмотрим . Пусть покрытие множества системой клеточных множеств.
Определение. Внешней мерой множества называется , где всевозможные покрытия множества А системами клеточных множеств.
Далее клеточное множество - кл.м.
Определение: Множество называется измеримым (по Лебегу), если .
Мера , заданная на измеримых множествах, называется мерой Лебега.
Свойства внешней меры :
Если - клеточное, то ;
Если , то ;
Если , то ;
.
Свойства измеримых множеств:
Если , то - измеримо.
Пусть ∎
Если - измеримо, то - измеримо.
- измеримо ∎
Если - измеримы, то - измеримы. . Докажем включение
- измеримо ∎
Если - измеримы, то - измеримы.
∎
конечного числа измеримых множеств – измеримое множество.
Лемма. .
∎
17. Теорема о конечной аддитивности меры Лебега. Теорема о счетной аддитивности
меры Лебега.
Теорема 2. (Конечная аддитивность меры Лебега)
Пусть - измеримы, , тогда .
По определению измеримого множества
Имеем , , .
Но также было доказано ранее , и по лемме
, но
∎
Теорема 3 ( -аддитивность меры)
Объединение счетного числа измеримых множеств измеримо и
, где -измеримы, .
⧠ 1) Измеримость. Пусть -измеримы. Если их пересечения не пусты, то перейдем к системе непересекающихся множеств : .
Можем считать, что . Пусть .
Имеем - сходится. .
Рассмотрим , С - измеримо, . Пусть B - кл.м.: .
Так как , то . - измеримо.
2) Докажем, что . Имеем Тогда при , но также , так как множества образуют покрытие множества А. Следовательно, .∎
Следствие. Пересечение счетного числа измеримых множеств - измеримо.
⧠ Пусть - измеримы. ∎