2.7. Кинетическая и потенциальная энергии. @

Полная механическая энергия Е_м складывается из кинетической Е_к и потенциаль­ной Е_п энергий Е_м = Е_к + Е_п .

Кинетическая энергия Е_к – это энергия движущегося тела, она равна работе, которую могло бы совершать тело при торможении до полной остановки Е_к=А_тор. Соответственно, эта работа чис­ленно равна работе внешней силы по увеличению скорости тела от 0 до т.е. Е_к=А_{разгона}. Рассчитаем эту работу, учитывая, что работа внешней силы F над телом на малом участке перемещения dr равна (здесь использован второй закон Ньютона, соотношение и законы дифференцирования)

.

Так как по определению , то получаем .

Е

Рис.2.10. Зависимость потенциальной энергии тела от расстояния до поверхности Земли.

сли система состоит из n движущихся точек (тел), то ее полная кинетическая энергия равна

. Если система обладает только кинетической энергией, то изменение кинетической энергии тела равно работе сил, действовавших на тело во время движения                                                .

Потенциальная энергия Е_п – это энергия взаимодействия тел системы, определяемая вза­имным расположением тел и характером сил взаимодействия между ними. Потенциальная энергия - ве­ли­чина, зависящая от выбора начального положения, при котором Е_п=0, т.е. она величина относительная. Если работу совершают консервативные силы, то происходит изменение Е_п системы на величину . Конкретный вид зависимости Е_п от расположения тел системы связан с характером сил взаимодействия тел.

Рассмотрим два примера:

Рис.2.11. Зависимость потенциальной энер­гии упруго сжатой пружины от величины деформации.

1). Определим Е_п тела, поднятого над землей т.е. энергию взаимодействия этого тела с планетой Земля. Известно, что на тело действует консервативная сила тяжести, при небольших вы­сотах h она мало меняется и считается по формуле P = mg. При паде­нии тела сила тяжести совершает работу A=mgh, при этом потенциальная энергия тела уменьшается ровно на эту величину. Если Е_п1- потенциальная энергия тела, поднятого над землей, а Е_п2 - потенциальная энергия тела на по­верхности земли, кото­рую принято считать равной нулю, то из связи работы и изменения энергии, получим . График зависи­мости Е_п от h представлен на рис.2.10. Ясно, что Е_п10 при h0, т.е. над землей и Е_п20 при h0, т.е. ниже уровня земли.

2). Определим потенциальную энергию упруго де­формированной пружины. Из экспериментов известно, что при сжатии (растяжении) пружины в ней возникает сила упругости . Знак минус показывает, что сила упру­гости направлена в сторону противоположную деформации. Работа этой силы затрачивается на увеличение потенциаль­ной энергии пружины т.е. A=E_п= Е_п2- Е_п1 . Так как dA=Fdx=kxdx, то (Е_п недеформированной пружины считается равной нулю). Сле­довательно , на рис.2.11 представлен ее график.

2.8. Связь потенциальной энергии тела и действующей на него консервативной силы. @

Так как работа консервативной силы равна убыли потенциальной энергии, то или . Высшая математика позволяет выразить малое изменение любой функции (дифференциал функции) через частные производные от этой функции по ее аргументам. Конкретно для дифференциала потенциальной энергии, зависящей от координат, можно получить . Если подставить это выражение в , то после записи левой части через проекции силы на оси координат, получим

.

Это выражение должно быть справедливо при любых малых перемещениях dx, dy, dz, что может быть только тогда, когда выполняются соотношения .

В результате получаем связь между Е_п и F, в векторной форме ее записывают сокращенно в виде

,

где используют математический символ для вектора, который называется градиентом скаляр­ной величины Е_п и обозначается grad (Е_п) .