- •Тема 4. Физические уравнения связи напряженного и деформированного состояния
- •4.1. Общая постановка задачи теории омд
- •4.2. Формулировка физических уравнений для изотропных металлов
- •4.3. Гипотеза единой кривой
- •4.4. Модели сплошных сред
- •1. Модели идеальной упругой среды (модель Гука).
- •2. Линейно – вязкая среда (среда Ньютона).
- •3. Жестко – пластическая среда (среда Сен – Венана):
- •4.5. Линейная теория упругости
- •4.6. Теория пластического течения
- •4.7. Условие пластичности
- •4.8. Полная система дифференциальных уравнений теории омд
- •4.9. Граничные условия и виды границ
- •10. Трение в омд
- •4.11. Упрощения системы уравнений теории омд
- •4.12. Плоское деформированное состояние
- •4.13. Плоское напряженное состояние
4.11. Упрощения системы уравнений теории омд
В связи с математическими трудностями решения полной системы дифференциальных уравнений теории ОМД применяют упрощающие допущения. Эти допущения не должны находиться в большом противоречии с физикой конкретного процесса деформации. В то же время они должны облегчить вычисления. К числу таких допущений относится:
1) предположение об идеальной пластичности;
2) об изотермичности течения металла;
3) о его несжимаемости;
4) о достаточно медленном течении металла без массовых сил;
5) о плоском деформированном и напряженном состоянии.
1. Идеально – пластичным называется материал, который не проявляет упрочнения, то есть по мере изменения H или накопления .
T=const.
По условию текучести Мизеса то есть металл переходит в пластическое состояние при некотором напряженном состоянии, интенсивность касательных напряжений которого .
.
Это идеализация, так как у реальных металлов:
.
Рис. Зависимость интенсивности касательных напряжений Т от интенсивности скорости деформации Н для реальных металлов
Но гипотеза об идеальной пластичности существенно упрощает решение задач. Физические уравнения связи:
2.Течение называется изотермическим, если за все время деформации в любой точке деформируемого тела , то есть разогрев от работы деформации и теплообмен с окружающей средой в расчет не принимают. Это допущение в ряде случаев является оправданным. Однако в каждом конкретном случае необходимо проверять его справедливость. При изотермическом процессе считают известной и нет надобности решать дифференциальные уравнения теплопроводности.
3. Гипотеза несжимаемости с достаточно высокой степенью точности выполняется для многих металлов.
4. Процессы ОМД достаточно медленны, то есть плотность сил инерции не влияет на напряженно – деформированное состояние металла. Мала также, как правило, и плотность других массовых сил (например сил тяжести). Поэтому дифференциальное уравнение движения сплошной среды
упрощается и переходит в дифференциальное уравнение равновесия
.
При изучении штамповки взрывом, магнитоимпульсной штамповки следует все же пользоваться дифференциальным уравнением движения.
Допущения о плоском деформированном состоянии и плоском напряженном состоянии рассмотрим отдельно.
4.12. Плоское деформированное состояние
Деформированное состояние называется плоским, если векторы скорости течения всех частиц металла лежат в параллельных плоскостях, например координатной плоскости xoy. Тогда:
(1)
Подобное состояние возникает в длинных призматических телах, ориентированных длинной стороной вдоль оси z. Нагрузки действуют в плоскостях, параллельных xoy и во всех этих плоскостях они одинаковы.
Рис. Схема плоского деформированного состояния
Если считать трение изотропным, то есть независящим от направления, то тогда в соответствии с законом наименьшего сопротивления все частицы металла будут скользить в направлении наикратчайшего расстояния до края заготовки. Поэтому заготовку можно разделить линиями, равноудаленными от границ, на зоны 1… 4.
С учетом этого разбиения на зоны можно принять, что течение металла в направлении z пренебрежительно мало, по сравнению с течением в направлении оси x. Таким образом говорят что весь смещенный в направлении y металл течет в направлении x, то есть .
Можно также считать, что скорости и одинаковы во всех поперечных сечениях, если мы будем перемещаться вдоль оси z. То есть эти скорости независимы от z. Таким образом и мы получим выражение (1).
– плоское деформированное состояние.
Интенсивность скорости деформации H для несжимаемого материала при плоской деформации:
Для изотропного несжимаемого материала:
Подставляя напряжение в формулу для T получим:
Условие текучести для идеальной пластичности
Тогда:
зависит от x и y.