4.8. Полная система дифференциальных уравнений теории омд

Для полного определения напряженного и деформированного состояния металла в каждой точке деформированного тела в каждый момент времени нам нужно определить:

- 6 штук; - 6 штук; - 3 штуки.

Необходимо также знать температуру . Всего 16 неизвестных. Для их определения мы имеем дифференцильные уравнения.

Дифференциальные уравнения движения:

, (i=x, y, z; j=x, y, z). (1)

Как правило, массовыми силами и ускорениями в реальных процессах ОМД можно пренебречь. Из (1) получаем дифференциальные уравнения равновесия:

– 3 уравнения. (1а)

Кинематические уравнения:

^{- 6 уравнений. (2)}

Физические уравнения связи напряженного и деформированного состояния:

- 6 уравнений; (3)

Дифференциальное уравнение теплопроводности:

- 1 уравнение (4)

Условие несжимаемости;

- 1 уравнение. (5)

Всего 17 уравнений.

Система (1) – (5) является полной системой дифференциальных уравнений теории пластичности.

Для решения конкретной задачи необходимо, чтобы были заданы начальные и граничные условия.

Начальные условия - известны какие – то величины (скорости, напряжения) в начале деформации при = 0.

Граничные условия – это условия на поверхностях, ограничивающих деформируемое тело.

В том случае, когда рассматривается стационарный процесс достаточно задать лишь граничные условия.

Стационарный – это процесс, при котором механические переменные в каждой точке деформируемого тела остаются постоянными, то есть от времени не зависит. Стационарные процессы – прокатка, волочение; нестационарные – штамповка.

4.9. Граничные условия и виды границ

Конкретность при решении задачи расчета напряжений и деформаций мы вносим путем задания граничных условий. В понятие «граничные условия» входит: форма границ тела и величины напряжений и скоростей на этих границах.

Граничные условия (ГУ) бывают следующих видов:

1. Статические ГУ – когда на границе задан вектор напряжений . по формулам Коши можно связать с компонентами .

Рис. Статические ГУ (заданы напряжения на части поверхности тела)

2. Кинематические ГУ.

На границе задан вектор скорости перемещения .

Рис. Кинематические ГУ (заданы скорости перемещения на части

поверхности тела)

Значение и в каждой точке границе свои, то есть они являются функциями координат x, y, z.

Иногда выбирают локальную систему координат: первая координата n – нормаль к поверхности, а две другие координаты лежат в касательной к поверхности плоскости. Тогда

В скобках записаны проекции векторов на оси координат.

3. Смешанные ГУ – на границе заданы часть проекций вектора напряжений и часть проекций вектора скорости: или

Виды границ. Рассмотрим виды границ и граничные условия на них. Для примера рассмотрим схему операции свободной ковки – протяжку, осуществляющую на прессе или молоте.

Рис. Схема протяжки заготовки:

1 – контактная граница (граница металла с инструментом); 2 – свободная граница; 3 – граница жесткой области (в ЖЗ деформация упругая); ОД – очаг деформации

В общем случае форма границ 3 и 2 неизвестны и они определяются из решения задачи.

На свободной границе 2 имеем статические ГУ, так как на ней известна часть напряжений: нормальное к границе напряжение

= 0.

На контактной границе 1 нормальная составляющая скорости перемещения металла («и» - инструмент). Если это условие не выполняется, то это означает, что металл или внедряется в инструмент или отходит от него.

Для касательных составляющих скорости возможны случаи:

а) прилипание металла – в этом случае частицы металла заготовки на границе не перемещаются в касательной плоскости относительно инструмента, т.е.

; .

Это запись в общем случае для всех процессов ОМД. Обычно при штамповке и ковке = 0; = 0. Тогда прилипание означает =0, = 0. Это скорости в горизонтальной плоскости бойка.

б) скольжение металла – на контактной границе имеем:

; .

Это означает, что в горизонтальной плоскости бойка частицы металла скользят по инструменту: ≠ 0, ≠ 0.

В общем случае скорость скольжения: .

, где

; .

На контактной границе необходимо задавать смешанные граничные условия: ( . Напряжения и подчиняются закономерностям трения скольжения.

На границе жесткой зоны 3 происходит сдвиг металла. Поэтому касательные напряжения будут направлены навстречу скорости сдвига и по величине равны : . Нормальные к границе скорости в ЖЗ и ОД равны по величине. Касательная к границе составляющая скорости равна разности касательных скоростей в ЖЗ и ОД. Таким образом, на границе 3 задают смешанные ГУ.