2. Линейно – вязкая среда (среда Ньютона).

Математическое выражение для модели Ньютона:

; (6)

где - коэффициент вязкости; ; то есть зависит от среднего нормального напряжения и температуры.

Рис. 7. График для среды Ньютона

Механическая аналогия среды Ньютона представлена на рис. 8.

Рис. 8. Механическая аналогия среды Ньютона

В механической аналогии Н – скорость перемещения поршня под действием силы Т. Коэффициент характеризует вязкость жидкости.

Модель Ньютона применима для анализа деформирования стали при высоких температурах (1100-1200 ˚С).

3. Жестко – пластическая среда (среда Сен – Венана):

; (7)

где – предел текучести при чистом сдвиге.

Эту модель называют так же моделью идеальной пластичности.

Тензор напряжений при чистом сдвиге:

;

;

где - касательное напряжение. Чистый сдвиг имеет место, например, при резке металла на ножницах. В плоскости реза действует только одно касательное напряжение.

Предел текучести на сдвиг (как и ) в основном зависит от вида металла и от температуры. Как только интенсивность напряжений Т достигает , металл начинает пластически деформироваться.

Механическая аналогия идеально пластической среды представлена на рис. 9. В этой аналогии - сила трения при перемещении груза по поверхности. На рис. 10 представлен график для идеально пластической среды.

Рис. 9.

Рис. 10. График для идеально пластической среды ( )

С помощью описанных выше простейших моделей можно составлять более сложные.

Для реальных металлов:

. (8)

Эта зависимость определяется экспериментально при сжатии, растяжении, кручении образцов. Опыты описаны в теме 3 (экспериментальное

определение сопротивления деформации ; ).

Рис. 11. Графики зависимости для реальных металлов

Опытные данные аппроксимируют (приближенно описывают) уравнениями регрессии вида:

; (9)

- степень деформации (средняя для образца); при осадке ;

– скорость деформации (средняя для образца); при осадке .

; ; .

Коэффициенты регрессии а₀, а₁, а₂, а₃ рассчитывают по таблицам с опытными данными методом наименьших квадратов.

Сложную модель вида (9) используют при компьютерном моделировании процессов пластической деформации.

4.5. Линейная теория упругости

Применяется для описания упругой и упруго – пластической деформации. Такое деформирование наблюдается при малой величине деформаций.

Согласно линейной теории упругости связь между напряжениями и деформациями прямо пропорциональная. При ее построении используют следующие гипотезы:

1. Среда считается изотропной и несжимаемой. Поэтому величина относительного изменения объема , равна:

.

Приведенное выше выражение представляет собой математическую запись условия несжимаемости.

2. Принимается, что девиатор напряжений пропорционален девиатору деформаций:

;

.

Приведенное выше выражение представляет собой запись физических уравнений связи. Коэффициент пропорциональности:

.

Так как материал несжимаем:

. (1)

Используется модель идеально упругой среды Гука:

Подробная запись уравнений (1):

,

,

……..

……..

Всего в подробной записи физических уравнение 6 выражений.

Из подобия девиаторов и вытекает отношение вида (для несжимаемого материала):

.

3. Используются дифференциальные уравнения равновесия:

, ( ).

4. Используются геометрические уравнения:

.

Линейная теория упругости может использоваться при анализе незначительных упругих и пластических деформаций. Ее еще называют теорией малых упруго – пластических деформаций. Практическое применение теории при расчете напряжений и деформаций в деталях инструмента (штампах) и в деталях оборудования (прессах).