Екзаменаційний білет з лінійної алгебри та аналітичної геометрії для спеціальностей «Фізика» і «Прикладна фізика» фізико-технічного факультету
Білет №21
Подвійний векторний добуток. Вираження подвійного векторного добутку через різницю скалярних [ [ ab ]
Довести подвійні векторні тотожності:
([ [ab]
[cd]
) = c(abd)
– d(abc),
([ab]
[bc]
[ca])
= (abc)2Довести, що об’єм тетраедра не залежить від руху (із збереженням власних довжин)протилежних ребер по своїх мимобіжних прямих, на яких вони лежать.
Знайти точку симетричну даній точці (1, 3, –4) відносно площини 3х+у–2z=0.
Знайти висоту піраміди в якої всі кути прямі, причому довжини бічних ребер рівні a, b, c.
Знайти кут між площиною грані A1B1C1D1 і площиною, яка проходить через вершини А1, В і середину М ребра [AD] куба ABCDA1B1C1D1.
Екзаменатор ___________________ Доцент Атаманюк Б.В.
Завідувач кафедри ___________________ Доцент Никифорчин О.Р.
Івано-Франківськ
2012р.
Екзаменаційний білет з лінійної алгебри та аналітичної геометрії для спеціальностей «Фізика» і «Прикладна фізика» фізико-технічного факультету
Білет №22
Застосування скалярного добутку до обчислення площ та об’ємів. Визначник Грамма.
Довести подвійні векторні тотожності: ( [ab] [cd] ) = c(abd) – d(abc); ( [ab] [bc] [ca] ) = (abc)2 [a[bc]] + [b[ca]] + [c[ab]] = 0; [ab],[cd] = ac bd – ad bc .
Знайти рівняння спільного перпендикуляра до двох мимобіжних, рівняння яких задано (протилежні ребра тетраедра).
Довести формулу для об’єму тетраедра ABCD: V=1/6│AD│
│BC│d
,
де кут
–
це кут між прямими (AD)
і (BC),
а величина d – відстань між мимобіжними
ребрами (AD)
і (BC).Довжина ребра правильного тетраедра ABCD рівна a. Точка Е – середина [CD], точка F – середина висоти [BL] грані ABD. Відрізок [MN] з кінцями на прямих (AD) і (BC) перетинає пряму (EF) і є перпендикулярним до неї. Знайти довжину цього відрізка.
Екзаменатор ___________________ Доцент Атаманюк Б.В.
Завідувач кафедри ___________________ Доцент Никифорчин О.Р.
Івано-Франківськ
2012р.
Екзаменаційний білет з лінійної алгебри та аналітичної геометрії для спеціальностей «Фізика» і «Прикладна фізика» фізико-технічного факультету
Білет №23
Теорема про фундаментальну систему розв’язків.
Теорема про суму рангу і дефекту лінійного оператора.
Процес ортогоналізації.
Записати рівняння спільного перпендикуляра до двох мимобіжниж.
Самоспряжені лінійні оператори. Ортогональність власних векторів, які відповідають різним власним значенням. Лінійна незалежність власних векторів, що відповідають різним власним значенням лінійного оператора.
Екзаменатор ___________________ Доцент Атаманюк Б.В.
Завідувач кафедри ___________________ Доцент Никифорчин О.Р.
Івано-Франківськ
2012р.