- •1. События, частота и вероятность
- •2. Классификация событий
- •3. Классический способ нахождения вероятности
- •1. Элементы комбинаторики и вычисление вероятности событий
- •2. Геометрические вероятности
- •4. Теорема сложения вероятностей событий
- •5. Формула полной вероятности
- •1. Формула Бернулли
- •1. Закон распределения дискретной случайной величины
- •1. Функция распределения непрерывной и дискретной случайной величины
- •2. Свойства функции распределения
- •3. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
- •4. Свойства плотности вероятности
- •1. Равномерное распределение
- •2. Нормальное распределение
- •1. Математическое ожидание. Дискретные случайные величины
- •3. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины
- •4. Свойства дисперсии
- •Математичечская статистика
- •1. Генеральная и выборочная совокупность данных
- •2. Статистическое распределение выборки. Выборочный ряд, полигон, гистограмма и комулянта выборки.
- •1. Точечные оценки.
- •1. Простые и сложные статистические гипотезы.
- •2. Проверка статистических гипотез
1. Функция распределения непрерывной и дискретной случайной величины
Начнём с определения.
Определение. Непрерывной случайной величиной называется переменная, которая может принимать случайным образом любые значения в некотором интервале числовой оси.
Обозначение. Обозначать непрерывные случайные величины будем латинскими буквами , , ,...
_______________
Пример. Пусть между двумя населёнными пунктами и протянута телефонная линия, расстояние между ними равно . Тогда точку возможного обрыва линии будем характеризовать случайной величиной , которая принимает значения на интервале от нуля до .
Тогда точка обрыва, точка (то есть случайная величина примет значение ), не может являться вероятностной характеристикой произошедшего обрыва: вероятность . На самом деле, по геометрической вероятности:
,
где - длина точки , - расстояние между пунктами и . Но ! Как охарактеризовать с вероятностной точки зрения линию обрыва?
Непрерывную случайную величину характеризуют с помощью функции распределения.
Функцией распределения случайной величины называется функция , выражающая для каждого числа вероятность того, что случайная величина примет какое-либо значение, меньшее числа :
.
Функция распределения определена для всех : , а значения принимает на отрезке , т.к. вероятность любого события находится именно в этих пределах.
Функцией распределения можно характеризовать (в равной степени) и дискретные случайные величины.
_______________
Пример. Пусть - число попаданий в цель при четырех выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна (пример из предыдущей лекции). Найти и изобразить функцию распределения этой случайной величины .
Решение. В предыдущей лекции мы нашли, что закон распределения имеет вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдём функцию распределения . При значении функция , т.к. событие можно составить из пяти несовместных событий:
, , , , ,
вероятности которых в сумме дают . И это справедливо для всех , таких, что . Поэтому при значении .
Но как только принимает значение , сразу из перечисленного выше множества событий исключается событие (т.к. ). Поэтому:
.
И так будет для всех , таких что . Поэтому для всех , таких что .
И так далее.… До значения , которому не соответствует ни одно из событий (т.е. переменная принимает значения от до с шагом равным ). Поэтому для всех значений , таких, что , значение функции распределения равно .
Итак, для рассматриваемой здесь случайной величины функция распределения имеет вид:
Графиком функции распределения является «набор из горизонтальной линии и горизонтальных стрелок» рис. 6.1, которые говорят о том, что предел справа у функции не достигается в пяти случаях:
Рис. 6.1. Функция распределения дискретной случайной величины.