5. Формула полной вероятности
Эта формула работает в том случае, когда событие происходит в опыте вместе с рядом других событий, составляющих полную группу. Такая ситуация иллюстрируется на рис. 3.3.
Допустим, что
события
образуют полную группу (т.е. какое-то из
них непременно происходит) несовместных
(т.е. два разных события одновременно
произойти не могут) событий. Тогда верна
следующая теорема.
Теорема. Если событие может осуществляться только при выполнении одного из событий , которые образуют полную группу
несовместных событий, то:
.
Рис. 3.3. Иллюстрация к формуле полной вероятности
Доказательство.
Представим событие
как событие, умноженное на достоверное
событие (от этого результат не изменится),
а достоверное событие как сумму всех
событий
:
.
Тогда
по формуле сложения вероятностей
(события
- несовместные,
а значит и события
совместно
произойти не могут) вероятность суммы
равна сумме вероятностей:
.
Далее по формуле умножения вероятностей получаем искомое соотношение:
.
Что и требовалось доказать.
Отметим, что события часто называют гипотезами.
___________________________________________
Пример. В
городе 5 банков, три из них («хорошие»
банки) разорятся с вероятностью
,
два («плохие» банки) – с
.
Найти вероятность сохранения вклада,
если деньги доверены наудачу одному из
банков. (Общая ситуация. Вы никогда не
знаете наверняка вероятность сохранения
Вашего вклада).
Решение. Введем соответствующие обозначения:
событие
- деньги доверены «хорошему» банку;
событие
- деньги доверены «плохому» банку;
событие - деньги сохранены.
Тогда можно найти вероятность того, что деньги сохранятся в «хорошем» банке (деньги будут сохранены, при условии того, что они будут доверены «хорошему» банку):
,
т.к. эта вероятность в совокупности с вероятностью разорения «хорошего» банка даст единицу (достоверное событие).
Аналогично находится вероятность того, что деньги сохранятся в «плохом» банке (деньги будут сохранены при условии того, что они будут доверены «плохому» банку):
.
Теперь можно найти вероятность того, что деньги доверены «хорошему» банку (по классическому способу нахождения вероятности событий, а число 3 равно числу благоприятствующих случаев, а всего - 5 банков):
и «плохому» банку (по классическому способу нахождения вероятности событий, а число 2 равно числу благоприятствующих случаев):
.
Тогда по формуле полной вероятности:
.
Т.е. вероятность оказалась «размытой по середине» между вероятностью сохранить деньги в «хорошем» банке и вероятностью сохранить в «плохом» банке.
Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного события на произведение условной вероятности другого события при условии, что первое событие произошло:
.
Приведём получаемую по индукции теорему об умножении конечного числа событий:
.
Схема независимых испытаний
Схема независимых испытаний представляет собой сочетание следующих факторов. Пусть производится серия из n независимых испытаний (что такое «независимость» мы говорили на прошлой лекции). В каждом испытании может возникнуть событие с одной и той же вероятностью.