- •1. События, частота и вероятность
- •2. Классификация событий
- •3. Классический способ нахождения вероятности
- •1. Элементы комбинаторики и вычисление вероятности событий
- •2. Геометрические вероятности
- •4. Теорема сложения вероятностей событий
- •5. Формула полной вероятности
- •1. Формула Бернулли
- •1. Закон распределения дискретной случайной величины
- •1. Функция распределения непрерывной и дискретной случайной величины
- •2. Свойства функции распределения
- •3. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
- •4. Свойства плотности вероятности
- •1. Равномерное распределение
- •2. Нормальное распределение
- •1. Математическое ожидание. Дискретные случайные величины
- •3. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины
- •4. Свойства дисперсии
- •Математичечская статистика
- •1. Генеральная и выборочная совокупность данных
- •2. Статистическое распределение выборки. Выборочный ряд, полигон, гистограмма и комулянта выборки.
- •1. Точечные оценки.
- •1. Простые и сложные статистические гипотезы.
- •2. Проверка статистических гипотез
2. Геометрические вероятности
Это понятие касается следующего класса задач. Представим себе, что на плоскости расположены две области и , причем область целиком распложена в области . Их площади, соответственно, равны и . В область наудачу бросают точку. Какова вероятность того, что точка попадёт также и в область ?
Если предположить, что точка может попасть в любую часть области , а вероятность попадания в область пропорциональна лишь её площади и не зависит ни от расположения , ни от её формы, то искомая вероятность равна:
.
Это и есть так называемое «правило нахождения геометрической вероятности»[7].
Аналогично могут быть определены вероятности попадания точки:
1) в объёмную область величиной , содержащуюся в объёмной области величиной , если точка брошена наугад в объём :
;
2) на отрезок величиной , расположенный на отрезке величиной , если точка брошена наугад на отрезок :
.
________________________
Пример. Круглый диск радиуса разбит на два сектора. Длина дуги одного из них (заштрихованного) равна радиусу . По быстро вращающемуся диску произведён выстрел. Цель поражена. Найти вероятность того, что попали в заштрихованную часть.
Решение. Идеология решения задачи проста. Пусть событие есть событие, состоящее в том, что попали именно в заштрихованную часть. Тогда искомая вероятность равна , где - площадь заштрихованной части, - площадь круга ( ).
Проблема лишь в том, как найти площадь заштрихованной части. Но относится к также, как длина дуги заштрихованной части ( ) относится к длине круга ( ): , что и требовалось найти.
___________________________________________
Пример. Задача Бюффона (или задача об игле). [7]. Пусть на плоскость, разлинованную параллельными линиями с расстоянием , наудачу брошен отрезок (игла) длиной . Какова вероятность пересечения линии иглой?
Событие состоит в пересечении линии на плоскости. Игла пересекает только одну линию в силу ограничения , или не пересекает ни одной. Пусть - расстояние от центра иглы до ближайшей линии, а - угол наклона иглы к линиям. Тогда множество всех равновозможных событий , а множество всех благоприятствующих исходов для события и оба эти множества изображены ниже на рисунке. Вероятность события вычисляется как геометрическая:
, , .
Рис 2.3. Иллюстрация к задаче Бюфона
4. Теорема сложения вероятностей событий
Начнем с геометрической иллюстрации. Пусть рассматривается геометрическая вероятность в случае (плоский случай). Событие состоит в том, что бросаем точку на часть плоскости и попадаем в фигуру , а событие - попадаем в фигуру (см. рис. 3.2). Найдем вероятность того, что бросаем точку в область и попадаем в фигуру , затемненную на рисунке фигуру. Эта фигура соответствует событию, состоящему в наступлении или события или события , т.е. события .
Рис. 3.2. Иллюстрация к теореме сложения вероятностей
В силу геометрической вероятности эта вероятность равна:
,
где - площадь фигуры , а - площадь области . Осталось найти площадь . Она равна:
,
где - площадь фигуры , - площадь фигуры , - площадь общей части фигур и , «забитой» на рис. 3.2 пятнами. Тогда:
,
где по определению геометрической вероятности:
вероятность события ,
вероятность события ,
вероятность события .
Тем самым, мы приходим к равенству
,
которое и составляет содержание теоремы о сложении вероятностей совместных событий, но доказательство её в общем случае гораздо сложнее и его мы оставляем без внимания.
Теорема о сложении вероятностей совместных событий. Вероятность суммы совместных событий и равна:
.
Здесь слова «вероятность совместных событий» имеют принципиальное значение, т.к. для несовместных событий получается несколько иная теорема. Разберёмся в этом. Для несовместных событий и основным свойством является равенство (они вместе произойти не могут):
.
Поэтому теорема переписывается в следующем виде.
Теорема о сложении вероятностей несовместных событий. Вероятность суммы несовместных событий и равна:
.
___________________________________________
Пример. «Не кладите все яйца в одну корзину.»
В два банка положены деньги (слава Богу, что некто догадался, что именно в «два»). Банки работают независимо друг от друга (часто встречающаяся ситуация). Вероятность разорения первого банка равна , а второго - . Какова вероятность того, что деньги сохранятся хотя бы в одном из банков.
Решение. Чтобы решить вероятностную задачу, главное, ввести правильные обозначения. Попробуем ввести следующие события.
- деньги взяты из первого банка,
- деньги взяты из первого банка.
Тогда событие означает, что деньги взяты либо из первого банка, либо из второго банка, либо из обоих банков сразу (вам очень повезло). А найти нужно именно вероятность этого события . По формуле сложения вероятностей совместных событий получаем:
.
Вероятность того, что первый банк останется «на плаву», составляет с вероятностью того, что первый банк разорится, в сумме (т.к. событие есть достоверное событие). Поэтому:
.
Аналогично найдем
.
А вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей , как произведение независимых событий. Поэтому:
.
То есть искомая вероятность получается больше вероятностей и , а, значит, права пословица!