- •1. События, частота и вероятность
- •2. Классификация событий
- •3. Классический способ нахождения вероятности
- •1. Элементы комбинаторики и вычисление вероятности событий
- •2. Геометрические вероятности
- •4. Теорема сложения вероятностей событий
- •5. Формула полной вероятности
- •1. Формула Бернулли
- •1. Закон распределения дискретной случайной величины
- •1. Функция распределения непрерывной и дискретной случайной величины
- •2. Свойства функции распределения
- •3. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
- •4. Свойства плотности вероятности
- •1. Равномерное распределение
- •2. Нормальное распределение
- •1. Математическое ожидание. Дискретные случайные величины
- •3. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины
- •4. Свойства дисперсии
- •Математичечская статистика
- •1. Генеральная и выборочная совокупность данных
- •2. Статистическое распределение выборки. Выборочный ряд, полигон, гистограмма и комулянта выборки.
- •1. Точечные оценки.
- •1. Простые и сложные статистические гипотезы.
- •2. Проверка статистических гипотез
2. Классификация событий
Рассмотрим простейший пример, который мы будем изучать с разных сторон в следующих двух параграфах первой лекции.
________________________
Пример № 1. Бросили игральную (шестигранную) кость (один раз). Найти вероятность того, что выпадет: 1) « »; 2) чётное число; 3) нечётное число; 4) число, меньшее « ».
Прелюдия к решению. Рассмотрим следующие элементарные события (возможно, на их основе представим нужные нам события):
- бросили игральную кость и выпала « »;
- бросили игральную кость и выпала « »;
- бросили игральную кость и выпала « »;
- бросили игральную кость и выпала « »;
- бросили игральную кость и выпала « »;
- бросили игральную кость и выпала « ».
Теперь легко представить, что:
1) событие , состоящее в том, что бросили игральную кость и выпала « », есть событие , т.е.
;
2) событие , состоящее в том, что бросили игральную кость, а выпало чётное число, представляет собой множество, состоящее из трёх событий,
;
3) событие , состоящее в том, что бросили игральную кость, а выпало нечётное число, представляет собой множество, состоящее из трёх событий,
;
4) событие , состоящее в том, что бросили игральную кость, а выпало число, меньшее « », представляет собой множество, состоящее из четырёх событий,
.
_________________________
Чтобы научиться находить вероятности сложных событий, нужно провести их классификацию и научиться проводить операции над ними.
Определение. Сумма конечного числа событий – событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них.
_________________________
Пример. В примере № 1 событие равно сумме событий .
Определение. Произведение конечного числа событий – событие, состоящее в наступлении всех этих событий.
________________________
Пример. В примере № 1 событие есть произведение событий и : (математики экономят на знаке произведения).
________________________
Определение. Противоположным событием называется событие, состоящее в не появлении события .
________________________
Пример. В примере № 1 событие есть противоположное к событию : .
________________________
Рассмотрим важные для дальнейшего понятия.
Определение. Два события называются несовместными, если наступление одного из них исключает возможность наступления другого. В противоположном случае события называются совместными.
________________________
Пример. В примере № 1 события и - несовместные, а события и - совместные.
________________________
Определение. События называются равновозможными (равновероятными), если вероятность наступления каждого из них одна и та же.
________________________
Пример. В примере № 1 события и являются равновозможными, если кость сделана без изъянов. Также следует признать равновозможными и события .
________________________
Определение. События называются элементарными, если их наступление нельзя связать с наступлением других событий в этом опыте.
________________________
Пример. Извлечение карты «Дама пик» из перемешанной колоды карт – событие элементарное.
________________________
Определение. События называются сложными, если их наступление в опыте можно связать с наступлением других событий в этом опыте.
________________________
Пример. Извлечение «пиковой карты» из перемешанной колоды карт – событие сложное, так как его наступление связано с рядом событий в этом опыте, а именно, извлечение «Туз пик», «Король пик», …
_______________________
Определение. События образуют полную группу, если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое-либо иное (отличное от входящих в группу) событие.
Пример. В примере № 1 события и образуют такую полную группу, если не учитывать, что кость при бросании может встать на ребро, исчезнуть (провалиться под пол), …
________________________
Определение. Событие называется достоверным, если оно не может не произойти в условиях данного опыта.
Вероятность достоверного события равна , т.к. для этого события (напомним, что ).
________________________
Пример. В примере № 1 событие есть как раз такое достоверное событие.
________________________
Определение. Событие, которое не может произойти в условиях данного опыта, называется невозможным событием.
Вероятность невозможного события равна , т.к. для этого события (а ).
________________________
Пример. В примере № 1 событие, равное произведению двух событий , является как раз невозможным событием. Невозможное событие представляет собой и событие, состоящее в выпадении .