- •Основні задачі, які розв'язуються в математичній статистиці. Характеристика методів розв'язування цих задач. Приклади.
- •Варіаційні ряди. Інтервальний і дискретно варйований варіаційні ряди. Вибір початку та довжини першого інтервалу. Приклади.
- •Властивості вибіркового середнього
- •Вибіркова дисперсія. Різні формули обчислення вибіркової дисперсії, в яких випадках вони застосовуються. Зміст усіх параметрів формул. Приклади.
- •Теореми
- •Твердження
- •Полігон частот та полігон відносних частот. Гістограма, імовірнісний зміст: а) фігури, обмеженої гістограмою, б) кривої, що з'єднує середини верхніх основ прямокутників гістограми. Приклади.
- •Вибіркові статистики. Для чого вони вводяться і які параметри оцінюють. Приклади.
- •14. Точкове оцінювання
- •Особливість
- •21. Розподіл Кочрена. Приклад критерію, що в певних умовах має такий розподіл. При перевірці яких статистичних гіпотез він використовується. Приклади.
- •22. Розподіл Пуасона. Перевірка гіпотези про розподіл Пуасона для генеральної сукупності. Приклади.
- •24. Інтервали надійності для дисперсії нормально розподілених генеральних сукупностей, їх імовірнісний зміст. Як впливає збільшення надійної ймовірності на довжину надійного інтервалу. Приклади.
- •26. Статистичні гіпотези. Основна і альтернативна гіпотези. Приклади. Основні відомості про перевірку статистичних гіпотез. Рівень значущості. Приклади.
- •27. Помилки першого і другого роду. Їх наслідки. Критична область. Область прийняття гіпотези. Критичні точки. Лівостороння, правостороння і двостороння критичні області та їх пошук. Приклади.
- •28. Порівняння дисперсії нормальної генеральної сукупності з гіпотетичною дисперсією. Пошук критичних областей в залежності від альтернативної гіпотези. Приклади.
- •29. Порівняння математичного сподівання генеральної сукупності з гіпотетичним математичним сподіванням, якщо дисперсія відома. Приклади.
- •30. Порівняння математичного сподівання генеральної сукупності з гіпотетичним математичним сподіванням, якщо дисперсія невідома. Приклади.
- •31.Порівняння дисперсій двох нормальних генеральних сукупностей. Пошук критичних областей в залежності від альтернативної гіпотези. Приклади.
- •33.Порівняння математичних сподівань двох нормально розподілених генеральних сукупностей з однаковими дисперсіями. Пошук критичних областей в залежності від альтернативної гіпотези. Приклади.
- •34.Критерії згоди. Критерій згоди Пірсона перевірки гіпотези про довільний закон розподілу. Перевірки гіпотези для розподіл Пуасона генеральної сукупності.
- •35.Критерії згоди. Критерій згоди Пірсона перевірки гіпотези про довільний закон розподілу. Схема перевірки гіпотези про нормальний розподіл генеральної сукупності.
- •36.Факторний аналіз. Основні гіпотези, які перевіряються у факторному аналізі. Особливості перевірки цих гіпотез при рівній кількості спостережень на різних рівнях фактору.
- •39. Критерій Кочрена. Приклад його застосування. Як слід діяти, якщо гіпотеза про рівність дисперсій не підтвердилася.
- •37.Факторний аналіз. Основні гіпотези, які перевіряються у факторному аналізі. Особливості перевірки цих гіпотез при неоднаковій кількості спостережень на різних рівнях фактору.
- •38. Критерій Бартлетта. Приклад його застосування. Як слід діяти, якщо гіпотеза про рівність дисперсій не підтвердилася
- •63. Закони великих чисел. Приклади.
- •Слабкий закон великих чисел
- •Посилений закон великих чисел
- •Різниця між слабким і посиленим законами великих чисел
- •Звч Бореля
- •64. Закони великих чисел та їх застосування в математичній статистиці.
- •67. Послідовність реалізації матричної форми методу найменших квадратів пошуку коефіцієнтів лінійних регресій за допомогою вбудованих функцій Excel.
- •68. Пошук вибіркових статистик за допомогою вбудованих функцій Excel та надстройки “Аналіз даних”.
- •69.Пошук незсунених оцінок невідомих параметрів за допомогою вбудованих функцій Excel та надстройки “Аналіз даних”.
- •70.Побудова інтервального варіаційного ряду за допомогою вбудованих функцій Excel.
24. Інтервали надійності для дисперсії нормально розподілених генеральних сукупностей, їх імовірнісний зміст. Як впливає збільшення надійної ймовірності на довжину надійного інтервалу. Приклади.
24. 4.2 Надійні інтервали дисперсії і середньоквадратичного відхилення :
;
,
де визначаються за таблицею критичних точок розподілу Пірсона з степенями свободи:
; .
А) для вибірки : ;
.
Отже, надійний інтервал:
.
Б) для вибірки : ;
.
Отже, надійний інтервал:
.
25. Мінімальний об'єм вибірки для пошуку надійного інтервалу математичного сподівання заданої довжини. Як впливає збільшення надійної ймовірності, рівня значущості, довжини надійного інтервалу на мінімальний об'єм вибірки. Приклади.
25. Знайдемо мінімальний обсяг вибірки для пошуку надійного інтервалу математичного сподівання довжиною:
А) для вибірки : ;
Б) для вибірки : .
5.1 Для відомої дисперсії: , де знаходимо за таблицею нормального розподілу. , звідси .
А) для вибірки : ;
Б) для вибірки : .
5.2 Для невідомої дисперсії: , де знаходимо за таблицею розподілу Стьюдента з степенем свободи.
А) для вибірки : ;
;
Б) для вибірки : ;
;
26. Статистичні гіпотези. Основна і альтернативна гіпотези. Приклади. Основні відомості про перевірку статистичних гіпотез. Рівень значущості. Приклади.
26. Гіпотеза - один з найважливіших факторів руху науки по шляху прогресу. Вона висувається як імовірний висновок у результаті спостереження, як правило, нових фактів. Виникаючи як результат спостереження за певними явищами /фактами/, гіпотеза набуває форми теоретичного припущення. Звернення до фактів зумовлює можливість перевірки такого припущення. При цьому факти, якими перевіряється гіпотеза, повинні бути науково обґрунтованими, тобто являти собою результат спостереження, що ґрунтується на наукових принципах.
Завдання перевірки статистичних гіпотез виникає у різних сферах людської діяльності, і в економіці зокрема. При порівнянні і оцінках різних явищ внаслідок наявності елементу випадковості, ця задача вирішується за допомогою методів математичної статистики. Як правило, у розпорядженні дослідників є вибіркові дані. Статистичний аналіз вибірки дозволяє зробити певний висновок щодо об'єкта дослідження шляхом обчислення статистичних оцінок (точечної, інтервальної). Але якщо задача оцінювання вирішує питання знаходження найкращої статистичної оцінки відносно параметрів або характеру розподілу вихідної сукупності, то завдання перевірки статистичних гіпотез зводиться до з'ясування, прийнятна чи ні деяка оцінка в ролі значення досліджуваної функції розподілу або параметра.
Завдання перевірки гіпотез інколи може логічно передувати завданню оцінки. Так, якщо дані спостереження містять грубі помилки, які особливо при малій вибірці істотно зміщують обчислювальні характеристики, то для одержання вірогідних оцінок необхідно переконатися спочатку в однорідності статистичної сукупності.
Гіпотеза - це наукове припущення, яке потребує перевірки, доведення. Під статистичною гіпотезою слід розуміти припущення про властивості випадкової величини, яке може бути перевірене за результатами статистичних спостережень. Статистичні гіпотези відносяться або до виду, або до окремих параметрів розподілу випадкової величини. Наприклад, статистичною вважають гіпотезу про те, що розподіл продуктивності однакових за фахом робітників, працюючих в рівних умовах, але на різних підприємствах, має нормальний характер розподілу.
Статистичною буде також гіпотеза про те, що середня продуктивність праці однакових за фахом робітників, працюючих в однакових умовах на різних підприємствах, не відрізняється за рівнем.
Якщо властивості випадкової величини виражаються кількісно, гіпотезу називають параметричною, якщо ж якісно -непараметричною. Наприклад, гіпотеза типу "нормальне розподіл має задану дисперсію" - параметрична; гіпотеза типу "вибіркові сукупності (дві, три и т.д.) однорідні" - непараметрична.
Висунуту гіпотезу, яку потрібно перевірити, називають нульовою (основною - Но). Гіпотезу протилежну нульовій, називають конкуруючою (альтернативною - Ні або НА). Таким чином, перед дослідником стоїть завдання перевірити гіпотезу н0 відносно конкуруючої гіпотези Ні за даними вибіркового спостереження з п незалежних змінних х1,х2,л^,...,хп над випадковою величиною х .
Суть перевірки гіпотези зводиться в цілому до умови, коли потрібно зробити висновок про вибір одного з можливих двох взаємовиключаючих рішень. їх називають альтернативними. Наприклад, при випробуванні певного виду вітамінних добавок у кормових раціонах спортивних коней такими взаємовиключаючими (альтернативними) висновками будуть: а) вітамінна добавка N сприяє росту результатів спортивних змагань; б) вітамінна добавка N не сприяє росту результатів спортивних змагань.При вивченні впливу спеціалізації виробництва на його економічну ефективність можлива альтернатива: а) зростання спеціалізації виробництва сприяє підвищенню його економічної ефективності; б) зростання спеціалізації виробництва не сприяє підвищенню його економічної ефективності. При випробуванні гіпотези про роль матеріального стимулювання у справі підвищення продуктивності праці існують альтернативи; а) під-вищення рівня оплати однієї людино-години сприяє зниженню трудомісткості виробництва продукції; б) підвищення рівня оплати однієї людино-години не сприяє зниженню трудомісткості виробництва продукції.
Як видно, нульовій гіпотезі н0 завжди протистоїть деяка альтернативна гіпотеза НА, яка заперечує їй. При формальному підході будь-яку з конкуруючих гіпотез, здавалося б, можна розглядати як нульову. Але вибір однієї з двох гіпотез як нульової потребує обґрунтування. Аргументація спеціального обґрунтування випливає при розгляді питання про можливі помилки при перевірці статистичних гіпотез. Про це мова піде нижче.
Принципи обґрунтування та прийняття рішень в умовах випадкової варіації досліджуваних факторів розроблені в основному Е.Нейманом і К.Пірсоном, а також зустрічаються і в ряді робіт інших математиків і статистиків, присвячених питанням теорії перевірки статистичних гіпотез і розкриттю логічних основ їх оцінки.
Важливо пам'ятати, що змістовний бік математико-статистичних прийомів обробки даних має вирішальне значення в наукових дослідженнях. Незнання його або нез'ясування робить неможливим формулювання статистичної гіпотези, а також вибір відповідного прийому випробування (перевірки) даної гіпотези.