Властивості вибіркового середнього

• Нехай — функція вибіркового розподілу. Тоді для будь-якого фіксованого функція є (невипадковою) функцією дискретного розподілу.

• Вибіркове середнє — незміщена оцінка теоретичного середнього значення: .

• Вибіркове середнє — строго конзистентна оцінка теоретичного середнього: майже напевне при .

• Вибіркове середнє — асимтотично нормальна оцінка. Нехай дисперсія випадкових величин скінченна і ненульова, тобто . Тоді за розподілом при , де — нормальний розподіл з середнім і дисперсією .

• Вибіркове середнє з нормальної вибірки — ефективна оцінка її середнього.

7. Вибіркова дисперсія. Різні формули обчислення вибіркової дисперсії, в яких випадках вони застосовуються. Зміст усіх параметрів формул. Приклади.

Вибіркові дисперсії s², S² — це числові характеристики розсіювання значень випадкової вибірки, що являє собою сукупність результатів незалежних спостережень. Визначаються в звичайних сукупностях вимірів. У теорії точності вимірювань їх ще називають дисперсіями вимірів, або просто дисперсіями.

Є випадкова вибірка обсягу n.

• Вибірковою дисперсією s² називається половина середнього квадрата відхилень значень вибірки:

.

• Вибірковою дисперсією S² називається половина середнього квадрата різниць значень вибірки:

.

Теореми

• Дисперсія s² — це різниця середнього значення квадратів елементів вибірки і квадрата вибіркового середнього:

.

• Дисперсія S² є різниця середнього значення квадратів елементів вибірки і середнього значення добутку двох її елементів:

.

• Вибіркові дисперсії мають такий вигляд:

;

.

Твердження

• Вибіркові дисперсії s², S² — це числа. Згідно з теоремою ймовірностей про сталі величини, математичні сподівання цих величин виглядають так:

• .

• .

8. Мода та медіана для довільної вибірки, для вибірки, по якій складено дискретно варьйований та інтервальний варіаційні ряди. Приклади відсутності моди, визначення медіани для вибірки з парною та непарною кількістю елементів. Особливості обчислень для вибірок, по яких складено варіаційні ряди. Модальний інтервал, медіанний інтервал.

Мода (М0) — це значення ознаки, що найчастіше зустрічається у сукупності. Таким чином, у дискретному ряді розподілу -  це варіанта, що має найбільшу частоту. В інтервальному ряді розподілу мода знаходиться за формулою:

де:           хмо — нижня межа модального інтервалу;

                і     — величина модального інтервалу;

                f­2, f1, f3 — відповідно частота модального, передмодального та після модального інтервалів.

Слід мати на увазі, що в інтервальних рядах розподілу з нерівними інтервалами модальним вважається інтервал з найбільшою щільністю розподілу, а мода дорівнює його середині.

Медіана (Ме) — це значення ознаки, що ділить рангований ряд значень показника на дві рівні частини. У першої половини одиниць значення ознаки менше медіани, а у другої — більше. Тобто, медіана — це серединне значення.

У тому випадку, коли відомі індивідуальні значення ознаки, їх спочатку рангують (розміщують в порядку зростання чи спадання). Потім визначають номер (місце) медіани:

При непарній кількості одиниць медіана дорівнює значенню ознаки з порядковим номером (n + 1)/2 . При непарній кількості одиниць медіана визначається як півсума двох значень — з порядковими номерами n/2 та (n + 2)/2.

                                                   

Наприклад, маємо ранговий ряд росту студентів (см):

163, 165, 167, 168, 171, 174, 175, 178, 180, 185, 187, 190.

Номер медіани: (12 + 1)/2  = 6,5. Отже, медіана — це півсума 6-го та 7-го значення:

Таким чином, половина студентів має зріст менше 174,5 см, а половина — більше, ніж 174,5 см.

В інтервальному ряді розподілу медіана визначається за формулою:

де            хме — нижня межа медіанного інтервалу;

                і     — величина інтервалу;

                fн   — нагромаджена частота передмедіанного інтервалу;

                fме  — частота медіанного інтервалу.

Приклад розрахунку моди і медіани для інтервального ряду розподілу:

Розмір штрафу, грн.	Число штрафів	Нагромаджена частота (fн)
До 100	4	4
100-200	20	24
200-300	26	50
300-400	15	65
400-500	8	73
500-600	3	76
600-700	2	78
700 і більше	2	80

Мода дорівнює:

Медіана становить:

Таким чином, найчастіше розмір штрафу становить 235,3 грн, половина штрафів менше 261,5 грн, а половина — більше.